Проверка гипотезы об адекватности выбранной математической модели

По результатам лабораторной работы №2 по определению зависимости радиального износа резца от пути резания. Линейную аппроксимацию функций И_p=f(L_рез) выполнить на участке нормального износа резца по уравнениюy=ax+b, гдеy=И_j;x=L_{рез j}.

По методу наименьших квадратов по программе Matcadпровести математическую обработку экспериментальных данных, определить коэффициенты «a» и «b» и представить математическую модель экспериментальных данных.

После построение математической модели функциональной зависимости радиального износа резца от пути резания И_p=f(L_рез) необходимо провести проверку адекватности модели или оценку качества аппроксимации.

Оценка отклонения экспериментальных данных от сглаженной прямой, построенной по уравнению у=aх+bпроводится по критерию Фишера по формулам:

, (3)

, (4)

При >,, (5)

где дисперсия среднеарифметической ординаты т.е. среднеарифметической радиального износа резцаẏ-том опыте дисперсия воспроизводи мости;

- дисперсия ординат сглаженной прямой, т.е. построенной по уравнению у=aẋ+b

или дисперсия адекватности;

У_i - ордината, равная радиальному износу вi-том измерении вj-том опыте; гдеi= 1,2,3…n,

J=1,2,3…m;

ӯ_j– среднее арифметическое значение ординат т.е. радиального износа резца вj-том опыте;

ỹ_j– значение ординаты сглаженной прямой т.е. значение радиального износа резца вj-том опыте, приведенное по уравнению у=ах+b;

n- число измерений радиального износа резца вj-том опыте;

m- число опытов в эксперименте;

F_p- расчетное значение критерия Фишера.

Если F_Р<F_табл для соответствующей степени свободыb=n-1 и принятого для эксперимента 5%-ного уровня значимости, то качество аппроксимации удовлетворительно т.е. выбранная математическая модель адекватна и она достаточно хорошо описывает экспериментальные данные.

Если F_Р>F_табл, то гипотеза адекватности математической модели отвергается.

Табличные значения критерия Фишера в 5%-ом уровне значимости представлены в табл. 9.

Адекватность математической модели– соответствие математической модели экспериментальным данным по выбранному критерию.

Проверка гипотезы об однородности выборочных дисперсий и принадлежности их генеральной совокупности

При обработке экспериментальных данных требуется выяснить вопрос об однородности дисперсий во всех опытах эксперимента, т.е. об их принадлежности дисперсий генеральной совокупности.

Если сравниваются две независимые выборки из нормальной генеральной совокупности с объемами N₁ и N₂ вычисляются оценки S₁² и S₂² . Проверяется нулевая гипотеза Н_о :относительно альтернативной гипотезыH₁: . Проверка приводиться при помощи критерия ФишераF.

Наблюдаемое значение критерия F_табл=S₁²/S₂² , (S₁²>S₂²) сравнивается с критическим по таблицам критических значений критерия Фишера для выбранной доверительной вероятности ( в нашем эксперименте принимаем P=0,95) т. е. при 5%-ом уровне значимости [4, стр. 212] .

Если F_набл<F_кр , то выборочные данные не противоречат нулевой гипотезе.

При анализе выборочных данных может быть выдвинута гипотеза об однородности дисперсий в нескольких выборках. В этом случае используется критерий Кохрена.

Наблюдаемое значение критерия G_набл определяется по формуле :

G_набл = S_{j max}²/ ∑_i=1ⁿS_j ² , (6)

, где S_{j max}– максимальная оценка дисперсии среди m сравнительных дисперсий (все m выборок (опытов) имеют одинаковый объем измерений n=4).

Критическое значение критерия Кохрена определяется из таблицы 8 в зависимости от принятой доверительной вероятности Р, объема выборок m (числа опытов в эксперименте на участке нормального износа резца) и числа n (измерений радиального износа резца в i-том опыте).

Если G_набл < G_кр , то можно считать, что гипотеза об однородности дисперсий в нескольких выборках верна.

Если G_набл>G_кр , то в этом случае дисперсии в нескольких выборках неоднородны т.е. они не принадлежат дисперсии генеральной совокупности.