Математ мод ВЗСТ / Теория / Метод Ньтона

Решение нелинейного уравнения методом Ньютона

1.1. Постановка задачи

Дано нелинейное алгебраическое уравнение

F(x) = 0. (1.1)

Нелинейность уравнения означает, что график функции не есть прямая линия. Решить уравнение – это найти x*  R : F(x*) = 0. Значение x* называют корнем уравнения. Нелинейное уравнение может иметь несколько корней. Геометрическая интерпретация такой ситуации представлена на рис. 1.1. Корнями уравнения (1.1) являются точки x₁*, x₂*, x₃*, в которых функция F(x) пересекает ось x.

Рис. 1.1. Геометрическая иллюстрация уравнения (1.1)

Необходимое условие существования корня уравнения (1.1) и достаточное условие единственности следуют из известной теоремы Больцано–Коши. Пусть F(x) непрерывна и F(a)F(b) < 0 (т.е. на концах интервала функция имеет разные знаки). Тогда внутри отрезка [a, b] существует корень уравнения F(x) = 0. Корень будет единственным, если F(x) не меняет знак на отрезке [a, b], т.е. F(x) – монотонная функция.

Методы решения уравнения (1.1) можно разделить на точные (аналитические) и приближенные (итерационные). Точными методами корень находится за конечное число действий и представляется некоторой алгебраической формулой. Процесс нахождения решения приближенными методами бесконечен. Решением называется бесконечная последовательность {x_n}, такая, что . По определению предела, для любого сколь угодно малого наперед заданного  найдется такое N, что при n > N |x_n – x*| < . Члены этой последовательности {x_n} называются последовательными приближениями к решению, или итерациями. Наперед заданное число  называют точностью метода, а N – это количество итераций, которое необходимо выполнить, чтобы получить решение с точностью . Существуют различные методы нахождения приближенного решения, т.е. способы построения последовательности итераций {x_n}, однако все они имеют общие этапы, изображенные на рис. 1.2. Используются различные критерии остановки итера­ционного процесса:

• |x_n – x*| < έ. К сожалению, это условие не всегда возможно проверить, т.к. x* неизвестно;

• F(x_n) < , где F(x_n) – невязка метода;

|x_n+1 – x_n| < έ, т.е. разница между соседними итерациями стала мала

Рис. 1.2. Этапы итерационного процесса

1.2. Приближенные методы

Прежде чем использовать приближенный метод, надо исследовать уравнение на наличие корней и уточнить, где эти корни находятся, т.е. найти интервалы изоляции корней. Интервалом изоляции корня называется отрезок, на котором корень уравнения существует и единственный. Каждому корню соответствует свой интервал изоляции. Если корней несколько, то для каждого нужно найти интервал изоляции. Существуют различные способы исследования функции: аналитический, табличный, графический. Аналитический способ состоит в нахождении экстремумов функции F(x), исследовании ее поведения при нахождении участков возрастания и убывания функции. Табличный способ – это построение таблицы, состоящей из столбца аргумента x и столбца значений функции F(x). О наличии корней свидетельствуют перемены знака функции. Чтобы не произошло потери корней, шаг изменения аргумента должен быть достаточно мелким, а интервал изменения – достаточно большим. Графический способ – это построение графика функции F(x) и определение числа корней по количеству пересечений графика с осью x. Ниже для иллюстрации графическим способом исследовано уравнение F(x) = 0.4  2^x – 0.5x – 1 = 0.

Рис. 1.3. Графический способ нахождения интервалов изоляции

На рис. 1.3 приведены построенные с помощью MathCAD графики функций F₁(x) = 0.4  2^x и F₂(x) = 0.5x + 1. Корнями являются точки, в которых пересекаются два графика. Рисунок показывает, что исходное уравнение имеет два корня, расположенных на интервалах [–3, 0] и [0, 3].

1.3.Метод Ньютона (касательных). Как и предыдущий, этот метод основан на замене исходного нелинейного уравнения (1.1) линейным уравнением, которое можно легко решить. Иллюстрация метода представлена на рис. 1.3. Пусть x₀ – начальное приближение. Построим касательную к функции y = F(x), проходящую через точку (x₀, F(x₀)). Найдем пересечение касательной: . с осью x: . На следующей итерации в качестве x₀ надо взять вычисленное значение x₁. Окончание итерационного цикла, как и в методе хорд, выполняется по невязке уравнения: |F(x₁)| < .

Рис. 1.3. Метод Ньютона

Как показывают практика и теоретические оценки, метод Ньютона позволяет достаточно быстро получить решение. Недостатком метода является то, что для некоторых функций F(x) при неудачном выборе начального приближения метод расходится. Ситуацию легко исправить, если выбрать x₀ ближе к x*.