Анал_Геом / Коллоквиум_Аналю.Геом

5

1.Матрица, элементы матрицы. Квадратная, единичная, нулевая матрица.

Таблица чисел a_ik вида состоящая из m строк и n столбцов, называется матрицей. Числа a_ik называют её элементами. Если в матрице число строк равно числу столбцов (m=n), то такую матрицу наз. квадратной. Матрица, все элементы которой равны нулю, наз. нуль-матрицей и обозначается (0) или просто 0. Матрица Е наз. единичной матрицей.

2. Элементарные преобразования матриц.

1) умножение всех элементов строки на одно и то же число;

2) перемена местами 2х строк;

3) сложение всех элементов строки соответствующими элементами другой строки;

Аналогичные преобразования могут производиться над столбцами матрицы.

3. Способы вычисления определителей 2-го и 3-го порядков.

Определителем второго порядка, соответствующим матрице А, наз. число, равное а₁₁ а₂₂ – а₁₂ а₂₁.

Определителем третьего порядка, соответствующим матрице А, наз. число, равное а₁₁ а₂₂ а₃₃ + а12 а23 а31 + а13 а21 а32 – а11 а23 а32 – а12 а21 а33.

4. Система линейных алгебраических уравнений(СЛАУ); общее и частное решение.

СЛАУ

а₁₁ x₁ + а₁₂ x₂ +…а_{1 n}* x_n = b₁ m-уравнений

а₂₁ x₁ + а₂₂ x₂ +…а_{2 n}* x_n = b₂ n - неизвестных

а_m1 x₁ + а_m2 x₂ +… а_mn* x_n = b_m

Набор значений переменных обозначающих каждое уравнение в тождество наз. решением системы или частным решением. Совокупность всех частных решений наз. общим решением.

5. Виды СЛАУ (в зависимости от кол-ва решений).

1. Система двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными: a_1x + b_1y = c₁ a_2x + b_2y = c₂} имеет решение x = |^c1_c2 ^b1_b2|/|^a1 _a2 ^b1 _b2|; y = |^a1 _a2 ^c1 _c2|/|^a1 _a2 ^b1 _b2| при условии: Δ = |^a1 _a2 ^b1 _b2| не= 0

2. Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными a1x + b1y + c1z = d1 a2x + b2y + c2z = d2 a3x + b3y + c3z = d3} имеет единственное решение: x =Δx/Δ, y = Δy/Δ, z = Δz/Δ, где Δx = |^a1 _a2 ^b1 _b2 ^c1 _c1| , Δy = |^a1_a2 ^b1_b2 ^c1_c2|, Δz = |^a1_a2 ^b1_b2 ^c1_c2| при условии Δ =|^a1_a2 ^b1_b2 ^c1_c2 | не= 0

3. Однородная система двух уравнений с тремя неизвестными a_1x + b_1y + c_1z = 0 a_2x + b_2y + c_2z = 0} решение: x = k|^b1_b2 ^c1_c2|, y = k|^c1_c2 ^a1_a2|, z = k|^a1_a2 ^b1_b2|, где к – произвольный множитель, если хотя бы один из определителей отличен от нуля.

4. Однородная система трех уравнений с тремя неизвестными: a_1x + b_1y + c_1z = 0 a_2x + b_2y + c_2z = 0 a_3x + b_3y + c_3z = 0} имеет решение отличное от нуля ( x = 0, y = 0, z = 0 - нулевое решение системы), Определитель равен нулю: Δ = |^a1_a2 ^b1_b2 ^c1_c2| = 0

6. Метод Крамера решение СЛАУ.

{a_11x1 + a_12x2 + a_13x3 = b1 a_21x1 + a_22x2 + a_23x3 = b2 a_31x1 + a_32x2 + a_33x3 = b3

Главный определитель системы Δ = |a11a21a31 a12a22a32 a13a23a33|

Δ1 = |b1b2b3 a12a22a32 a13a23a33| Δ2 = |a11a21a31 b1b2b3 a13a23a33| Δ3 = |a11a21a31 a12a22a32 b1_b2b3|; 1) Δне= 0 x₁ = Δ₁/Δ; x₂ = Δ₂/Δ; x₃ = Δ₃/Δ

2) Δ = 0; Δне= 0; 3) Δ= Δ₁ = Δ₂ = Δ₃ =0

7. Метод Гаусса решение СЛАУ.

Преобразовав определитель, он не меняется, если к элементам одной строки столбца прибавить соответствующую строку и столбец.

1. 2x1 + 2x2 +2x3 = 5 [-1][-2] 2x1 +2x2 – 2x3 + 3x4 = 5 * 2x1 + 2x2 – 2x3 + 3x4 = 5

2x1 + x3 – 3x4 = 0  -2x1 + 3x3 – 6x4 = -5 [-1]  -2x1 + 3x3 – 6x4 = -5

4x1 + 2x2 + x3 = 5 -2x1 + 3x3 – 6x4 = -5 0 = 0

2. 2 1 -2 3 5 [-1] [-2] 2 2 -2 3 5 2 2 -2 3 5

2 0 1 -3 0 ~ 0 -2 3 -6 -5 [-1] ~ 0 -2 3 -6 -5 ~ *

4 2 -1 0 5 0 -2 3 -6 -5 0 0 0 0 0

8. Модуль вектора (определение способ вычисления).

Вектор – направленный отрезок, имеющий определённую длину, т.е. отрезок определённой длины, у которого одна из ограничивающих его точек принимается за начало, а вторая за конец.

Квадрат ABCD , на основание определения равенства векторов можем написать AD = BC и AB = DC,но AB не= AD, BC не= DC, хотя |AB| = |AD| = |BC| = |DC|. Два вектора и наз равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и направление.

Длина вектора AB наз. его модулем и обозначается символом |AB|.

9. Направляющие косинусы вектора (определение, способ вычисления).

Пусть дан вектор а(а_х, а_у, а_z). Обозначим углы наклона этого вектора к осям Ох, Оу и Оz соответственно буквами α, β и γ . Три числа cosα , cosβ и cosγ принято называть направляющими косинусами вектора а. Полагая b = i (1;0;0), получим из cosα = a_x/ √a_x²+ a_y² + a_z².

11. Линейные операции над векторами (определение, свойства).

Линейными операциями наз. операции сложения и вычитания векторов и умножения вектора на число.

1) a +b = b + a; 2) (f + b) + c = a + (b+c); 3) (α +β)a = αa +βb; 4) α (a+b) = αa +αb;

5) a + 0 = a; 6) a + (-a) = 0; 7) 0*a = αa = 0; 8) α*(βa) = (αβ)a; 9) пр_a (b+c) = пр_a b+ пр_ac

12. Линейная зависимость (независимость) векторов (определения, теоремы).

Векторы а₁, а₂,…, а_n наз. линейно зависимыми, если существуют число λ₁, λ₂,…, λ_n, не все равные нулю, для которых имеет место равенство

Λ₁ a₁ + λ₂ a₂ +…+ λ_n a_n = 0

Векторы а₁, а₂,…, а_n наз. линейно независимыми, если равенство имеет место только при λ₁ = λ₂ = … = λ_n = 0.

Теор.1. Всякие три вектора на плоскости линейно зависимы.

Док-во. Достаточно убедиться в том, что один векторов является линейной комбинацией остальных:

1. Среди данных векторов имеется пара коллинеарных векторов, например a и b. Тогда a = λ b или a = λ b +0 c,

т.е. вектор а есть линейная коибинация векторов b и с.

2. Среди данных векторов нет ни одной пары коллинеарных. Допустим, что все три вектора имеют общее начало О. Покажем, что вектор а можно представить в виде суммы двух векторов, один из которых коллинеарен вектору b, а другой – вектору с. Для этого конец М вектора а проведем прямые, параллельные векторам в и с, до их пересечения в точках В С с прямыми, на которых соответственно расположены векторы b и с. Имеем очевидное равенство ОМ = ОВ+ОС.

Так как векторы ОВ ОС коллинеарны соответственно векторам b с,то ОВ = λ₁b и ОС = λ c

Поэтому а = λ₁ b + λ₂ c , т.е. вектор а явлюется линейной комбинацией векторов b и с.

Теор.2. Для того чтобы два вектора а и в на плоскости были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы они были неколлинеарны.

13. Координаты вектора ( определение, теорема).

Числа λ₁, λ₂ иλ₃ наз. координатами вектора а в пространвтве относительно базиса b, с и d.

Основное значение базиса состоит в том, что линейные операции над векторами при задании базиса становятся обычными линейными операциями над числами – координатами этих векторов.

Теорема. Какова линейная зависимость между векторами, такова их линейная зависимость между координатами. И какова линейная зависимость между координатами, такова их линейная зависимость между векторами. a = (ax, ay, az) b = {bx, by, bz}

A+b = {ax +bx, ay +by, az +bz} ;

14. Деление отрезка в заданном отношении.

Даны точки А(х₁; у₁) и В(х₂; у₂). Координаты точки М(х; у), деляшей отрезок АВ в отношении АМ : МВ = λ , определяются по формулам: x = x₁ + λx₂/1+λ, y = y₁ +λy₂/1+λ.

В частности, при делении пополам, т.е. в отношении λ= 1:1 = 1, x = x₁ + x₂/2,

y = y₁ + y₂/2

15. Скалярное произведение векторов. (определение, способ вычисления).

Скалярным произведением двух нулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Если из двух векторов хотя бы один нулевой, то скалярное произведение этих векторов принимается равным нулю.

Ab = |a| |b| cos φ.

|a| = √a_xa_x +a_ya_y + a_za_z = √a²_x + a²_y + a²_z

16. Приминение скалярного произведения (Вычисление модуля вектора, косинуса угла м/у векторами, проекции вектора).

Коши - |ab| = |a| * |b| (модуль вектор)

Cos (a^b) = ab/|a|*|b|; cosα = a_x/|a|; cosβ = a_y/|a|; cosγ = a_z/|a| (угол между векторами)

Cosφ = a*b / ab = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z / √a²_x +a²_y + a²_z √b²_x + b²_y + b²_z

Проекцией вектора наз. длина его компоненты а , на ось l, взятая со знаком «плюс», если направления компоненты совпадает с направлением оси l, и со знаком «минус», если направление компоненты противоположно направлены направлению осиl. Если а = 0, то пр_l a = 0

17. Векторное произведение вектора. (определение, свойства, способ вычисления).

Векторным произведением вектора a на неколлинеарный ему вектор bназывается такой третий вектор c, который удовлетворяет следующим трём условиям:

а) длина вектора c есть |c| = |a| |b| sinφ , где φ– угол между векторами a и b;

б) вектор c перпендикулярен векторам a и b, т.е. c┴a и c┴b;

в) трим вектора a, b, c, взятые в указанном порядке, образуют правую тройку.

Св-ва: 1. Для любых векторов a и b справедливо равенство

[a,b] = -[b,a].

Это св-во векторного произведения наз. антикоммутативностью.

2. Для любых векоров a и b и любого числа k справедливо равенство

[ka,b] = [a,kb] = k[a,b].

Следовательно, числовой множитель можно выносить за знак векторного произведения.

3. Для любых векторов a , b , cсправедливо равенство

[a+b,c] = [a,c] + [b,c].

Это св-во векторного произведения назю дистрибутивностью.

(a +b) *c = a*c + b*c

18. Смешанное произведение векторов (определение, свойства, способ вычисления).

Смешанным произведением 3х векторов наз. число равное скалярному произведению вектора а на векторное произведение b и с.

1. abc = bca = cab = -bac = -acb = -cba

2. abc = 0 ↔ a,b,c – компл.

3. |аbc| = V паралл.

Abc = |^x1_x2 ^y1_y2 ^z1_z2|

19. Коллинеарность векторов. (определение)

Два нулевых вектора, направления которых совпадают или противоположны, наз. коллинеарными.

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

20. Компланарность векторов. (определение)

Векторы в пространстве наз. компланарными, если они параллельны одной и той же плоскости. Очевидно, что любые два вектора в пространстве компланарны.

22. Применение произведений векторов для вычисления площади и объема.

V параллелепипеда = abc; V пирамиды = 1/6 abc.

|a*b| = S параллелограмма; S треугольника = ½ |a*b|.

23. Способы задания прямой на плоскости.

Любая прямая на плоскости задается уравнением ах +bх + с = 0 или любое уравнение такого вида определяет прямую.

24. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.

l₁: a₁x + b₁y + c₁ = 0

l₂: a₂x + b₂y + c₂ = 0

Если прямая задана общим ур-нием, то коэффицент при неизменных является координатами нормального вектора

l₁ || l₂ ↔ H₁ || H₂ ↔ a₁/a₂ = b₁/b₂

l₁ ≡ l₂ ↔ a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂

Если прямые не || => они ∩

l₁ ┴ l₂ ↔H₁┴ H₂ ↔ H₁H₂ = 0

a₁a₂ + b₁b₂ = 0

2) l₁: y = k₁x + b₁

l₂: y = k₂x + b₂

l₁|| l₂ ↔ k₁ = k₂

l₁ ≡ l₂ ↔ k₁ = k₂; b₁ = b₂

l₁ ┴ l₂ ↔ k₁*k₂ = -1

3) l₁ || l₂ p(l₁) || p(l₂)

p(l₁) ┴ H(l₂) l₁ ≡ l₂ ↔ {l₁ || l₂ Me l₁=> Me l₂}

25. Угол между прямыми.

Пусть прямые l1 и l2 заданы уравнениями A₁x+B₁y+C₁=0 A₂x+B₂y+C₂=0

Обозначим через φ угол между прямыми l₁ и l₂ (он лежит в интервале от 1 до 90˚), а через φ угол между их нормальными векторами N₁={A₁;B₁} и N₂={A₂;B₂}, который лежит в интервале от 0 до 180˚. Если φ ≤90˚(рис. а), то ψ=φ , а если φ >90˚ (рис.б), то ψ=180˚–φ Легко видеть, что в обоих случаях верно равенство

Cosψ = |cosφ|

Т.к. из определения скалярного произведения двух векторов следует, что

Cosφ = N₁N₂/|N₁| |N₂|,

То (2) cosψ = |N₁N₂|/|N₁| |N₂|

Записав правую часть формулы (2) через координаты нормальных векторов N₁и N_2, получим искомое выражение для косинуса угла между прямыми l₁и l₂:

Cosψ = |A₁+B₁|/√A²₁+B²₁√A²₂B²₂

Расстояние от точки до прямой на плоскости.

Пусть прямая l задана уравнением Ax+By+C=0. Расстояние d от некоторой точки плоскости M(x_M;y_M) до прямой l равно абсолютной величине проекции вектора M₁M = {x_M-x₁;y_M-y₁} , где M₁ (x₁;y₁) - точка прямой l , на направление нормального вектора N = {A;B} (рис.) Поскольку N×M₁M = |N| |M₁M| cosφ = |N| |× пр_NM₁M, то искомое расстояние d вычисляется по формуле d = |пр_NM₁M|= |N×M₁M|/|N| = |A×(x_M-x₁)+B(y_M-y₁)|/√A²+B² = |Ax_M+By_M-(Ax₁+By₁)|/√A2+B2

Т.к. точка M₁(x₁;y₁) принадлежит прямой l , то Ax₁+By₁ = -C.

Следовательно, d = |Ax_M+By_M+C|/√A²+B²

26. Способы задания плоскости.

1) По точке и 2м направляющим векторам M₀(x₀;y₀;z₀) p{p₁;p₂;p₃} q{q₁;q₂;q₃} M(x,y,z)eω ↔ (M₀M;p;q) = 0 (matrica |x-x₀ y-y₀ z-z₀ p₁ p₂ p₃ q₁ q₂ q₃| = 0

2) Параметрические уравнения плоскости OM = OM₀ + M₀M = Om₀ + np + vq x = x₀ + np₁ + vq₁ y = y₀ + np₂ + vq₂ z = z₀ + np₃ + vq₃

Вектора лежат в одной плоскости следовательно они компланарны; между ними существует линейная зависимость. При параметрическом задании плоскости, каждой точке на плоскости, соответствует единственная пара значения и наоборот.

3) По 3м точкам M₀(x₀;y₀;z₀), M(x₁;y₁;z₁), M₂(x₂;y₂;z₂)

P = M₀M₁, q = M₀M₂ (matrica|x-x₀ y-y₀ z-z₀| = 0

4) По точке и нормальному вектору M₀ (x₀,y₀,z₀) n{a,b,c}

M(x,y,c)eω ↔ M₀M┴n ↔ n*M₀M = 0

A(x-x₀) + b(y-y₀) + c(z-z₀) = 0

5) Уравнение плоскости в отрезках x/t + y/l + z/m = 1

A(t;0;0) B(0;l;0) C(0;0;m)

6) Общее уравнение ax + by + cz + d = 0

27. Способы задания прямой в пространстве.

1) По точке и направляющему вектору M₀(x₀,y₀,z₀), p{p₁:p₂;p₃}

M₀ (x,y,z)e l ↔ M₀M|| p x-x₀/p₁ = y-y₀/p₂ = z-z₀/p₃

2) Параметрическое задание прямой x = x₀ + p₁t y = y₀ + p₂t z = z₀ + p₃t

3) По 2ь точкам M₀(x₀;y₀;z₀), M₁(x₁,y₁,z₁)

M0M || M0M1 x-x₀/x₁-x₀ = y-y₀/y₁-y₀ = z-z₀/z₁=z₀

4) Пересечение 2х плоскостей l = ω₁┴ω₂ {a₁x + b₁y + c₁z + d₁ = 0 a₂x + b₂y + c₂z + d₂ = 0

p = n1*n2 = {|b1c1|,-|a1c1|,|a1b1|}

Нормальным вектором в пространстве прямая не задаётся. Условным коэффицентом прямая в пространстве не задаётся.

28. Взаимное расположение плоскостей.

Cos (ω,^ω) = |cos (n₁;^n₂)|

1) Если плоскости ортогональны, то ω₁ ┴ ω₁ ↔ n₁┴n₂ ↔ n₁n₂ = 0

A₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0

2) Если плоскости || , то ω1||ω2 ↔ n1||n2 a1/a2 = b1/b2 = c1/c2

3) ω₁≡ω₂ ↔ a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ = d₁/d₂

29. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.

Cos (l₁^l₂) = |cos(p^,q)|

1)l₁ || l₂ ↔ p || q

2) l₁ ∩ l₂ p не || q, pq*M₁M₂ = 0

3) l₁ – l₂ p*q*M₁M₂ не = 0

30. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.

Sin (l,^ω) = |cos (n,^p)|

1) l ∩ω ↔ p*n = 0 p₁a + p₂b + p₃c = 0 p = {p₁,p₂,p₃},n = {a,b,c}

2) l |ω ↔ p┴n ↔ pn = 0 p₁a + p₂b + p₃c = 0

3) l ||ω ↔ a) l ||ω b) Ael => Aeω

4) l┴ω ↔ p||n ; a/p₁ = b/p₂ = c/p₃

31. Расстояние от точки до прямой и до плоскости в пространстве.

Плоскость ρ, задана общим уравнением Ax+ By+ Cz+ D=0 Проведём через точку M(x_m; y _m ; z _m) прямую l перпендикулярно плоскости ρ. В качестве направляющего вектора t прямой l можно взять нормальный вектор плоскости ρ, т.е. вектор N={A;B;C} Итак, t=N={A;B;C}

Каноническое уравнение прямой: ^x-x m/A= ^y-y m/B= ^z-z m/C.

Найдем расстояние d от данной точки М₀(х₀;у₀) до прямой l заданной уравнением х соsα + y sinα – p = 0(под расстояние d от точки М₀(х₀;у₀) до прямой l понимается длина перпендикуляра, опущенного из М₀ на l).

Проведем через точку М₀ прямую l₁, параллельную l. Запишем нормальное уравнение прямой l₁: x cosα + y sinα – (p+d) = 0

Прямая проходит через точку М₀(х₀;у₀), поэтому отсюда x₀ cosα y₀ + sinα – (p+d) = 0. d = x₀ cosα + y₀ sinα – p.

Если точка М₀(х₀;y₀) и начало координат лежат по одну сторону от прямой l, то аналогично предыдущему установим, что d = - (x₀ cosα + y₀ sinα – p).

Если прямая l задана общим уравнением А_х – В_у – С = 0, то с учетом вывода формула принимает вид d = |A_x0 + B_y0 + C| / √A² + B²

32. Расстояние между прямыми в пространстве.

1) l₁ || l₂ p(l₁;l₂) = p(M₁;l₂) Mel₁

2) l₁ ˙– l₂ p(l₁;l₂) – h = V/S p(l₁;l₂) =| pqM₁M₂| / |pq|

33. Эллипс. (определение, каноническое ур-ние)

Эллипсом называется множемтво точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух заданных точек той же плоскости постоянна и больше расстояния между этими точками. Заданные точки наз. фокусами эллипса, а расстояние между ними – фокальным расстоянием.

x²/a² + y²/b² = 1;

34. Гипербола. (определение, каноническое ур-ние)

Гиперболой называется множество точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний до двых данных точек плоскости постоянен и меньше расстояния между этими точками. Данные точки наз. фокусами гиперболы, а расстояние между ними – фокальным расстоянием.

x²/a² – y²/b² =1;

35. Парабола. (определение, каноническое ур-ние)

Параболой называется множество точек плоскости, для каждой из которых расстояние до заданной точки равно расстоянию до заданной прямой, не проходящей через данную точку. Данная точка наз. фркусом параболы, данная прямая наз. фркальным параметром параболы и обозначается через ρ.

y²=2ρx;