
Анал_Геом / Матрица линейного преобразования в базисе из собственных векторо1
.docМатрица линейного преобразования в базисе из собственных векторов
В разделе "Матрица
линейного преобразования"
мы выяснили, что каждое линейное
преобразование
-мерного
линейного пространства в фиксированном
базисе задается матрицей. Если меняется
базис, то, как правило, меняется и матрица.
Возникает вопрос, нельзя ли найти базис,
в котором матрица линейного преобразования
имеет наиболее простой вид. В общем
случае выбрать такой базис довольно
сложно. Это связано с нахождением
нормальной жордановой формы матрицы,
изложение которого можно найти в более
обстоятельных учебниках по линейной
алгебре, например, в [4],
[5].
Следующая теорема отвечает на этот
вопрос в более простом случае.
Теорема
19.2 Пусть
--
линейное преобразование
-мерного
линейного пространства. Матрица линейного
преобразования имеет диагональный вид
|
(19.5) |
тогда и только тогда, когда векторы
базиса являются собственнными векторами
преобразования
,
соответствующими собственным числам
.
Доказательство.
Пусть преобразование
имеет
линейно
независимых собственных векторов
,
соответствующих собственным числам
.
Так как векторы
линейно
независимы, то они образуют базис. Найдем
матрицу преобразования
в
этом базисе. Ее первый столбец является
координатным столбцом вектора
.
Так как
--
собственный вектор, то
Координатный столбец этого вектора
.
Второй столбец матрицы
является
координатным столбцом вектора
.
Так как
--
собственный вектор, то
Координатный столбец этого вектора
.
Вычисляя аналогично остальные столбцы,
получаем, что матрица линейного
преобразования
в
базисе
имеет
вид (19.5).
Первая часть теоремы доказана.
Пусть в некотором базисе
матрица
линейного преобразования имеет
вид (19.5).
Найдем образ вектора
.
Этот вектор имеет координатный столбец
,
его образ имеет координатный столбец
Следовательно,
--
собственное число преобразования
,
а
--
соответствущий ему собственный вектор.
Аналогично находим, что любой базисный
вектор
является
собственным вектором преобразования
,
соответствующим собственному числу
.
Следствие
19.2 Если у матрицы
порядка
существует
набор из
линейно
независимых собственнных векторов,
соответствующих собственным числам
,
то матрица
подобна
диагональной матрице с числами
на
диагонали.
Теорема
19.3 Пусть собственные
векторы
преобразования
соответствуют
собственным числам
,
среди которых нет равных друг другу.
Тогда система векторов
является
линейно независимой.
Доказательство.
Воспользуемся методом математической
индукции по числу векторов. Если
,
то утверждение теоремы следует из того,
что собственный вектор -- ненулевой.
Пусть утверждение верно для системы
векторов
.
Составим линейную комбинацию векторов
и
приравняем ее к нулю
|
(19.6) |
К обеим частям применим преобразование
По определению линейного преобразования получим
Так как
--
собственные векторы, то
Умножим равенство (19.6)
на
и
вычтем из последнего равенства. Получим
Так как по предположению индукции
векторы
линейно
независимы, то
По условию
,
следовательно,
.
Подставим эти значения в (19.6),
получим
.
Получили, что из равенства (19.6)
следует
,
то есть векторы
линейно
независимы.
Следствие
19.3 Если матрица
порядка
имеет
попарно
различных собственных чисел, то она
подобна диагональной матрице.