Анал_Геом / Изменение матрицы линейного преобразования при изменении базиса

Изменение матрицы линейного преобразования при изменении базиса

В предыдущем разделе мы установили, что как только в линейном пространстве выбран базис, то каждому линейному преобразованию соответствует матрица этого преобразования. Однако если выбрать в пространстве другой базис, то матрица преобразования, как правило, станет другой. Выясним, как эти матрицы связаны между собой.

Пусть  -- -мерное линейное пространство, и  -- два базиса в этом пространстве. Первый из них назовем "старым", а второй -- "новым". Пусть  -- матрица перехода 19.1.4 а от старого базиса к новому.

        Предложение 19.1   Пусть  -- линейное преобразование пространства , и  -- матрицы этого преобразования в старом и новом базисе соответственно. Тогда

        Доказательство.     Пусть  -- произвольный вектор пространства ,  -- его образ, то есть . Пусть и  -- координатные столбцы векторов и в старом базисе, а ,  -- в новом. Тогда в силу формулы (19.3) . По  предложению 18.5 имеем , . Подставим эти выражения в предыдущую формулу, получаем . Откуда . С другой стороны, в силу формулы (19.3) в новом базисе . Сравнивая это равенство с предыдущим, получаем .     

        Определение 19.2   Две квадратных матрицы и одного порядка называются подобными, если существует такая невырожденная матрица , что .         

        Следствие 19.1   Матрицы одного линейного преобразования, соответствующие разным базисам, подобны друг другу, и наоборот, если матрицы подобны, то они являются матрицами одного и того же преобразования в разных базисах.