ЛЕКЦИЯ 1. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
Свободные колебания, возникающие под влиянием начального толчка, ввиду действия сил трения и сопротивления, с течением времени затухают.
Для того, чтобы в системе происходили незатухающие колебания, необходимо компенсировать потери энергии. Такая компенсация может производиться за счет внешних по отношению к колебательной системе источников энергии.
Рассмотрим простейший случай, когда на систему воздействует внешняя сила, изменяющаяся со временем по гармоническому закону:
F F0 cos t
Вынужденные колебания – колебания, возникающие в механической системе под действием внешней периодической силы и происходящие с частотой изменения этой силы.
Если внешняя сила описывается гармонической функцией с циклической частотой , то механическая система будет совершать вынужденные колебания в такт с внешней силой, т.е. на частоте
Получим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний, воспользовавшись моделью пружинного маятника массы m, связанного пружиной жесткости k и движущегося в вязкой среде вдоль параллельной пружине оси X.
На тело действуют: сила упругости Fупр = –kr, сила сопротивления Fсопр = –rv и внешняя сила F = Fcos t, направленная вдоль оси X. Уравнение движения тела:
mx kx rx F0 cos t
Получим уравнение вынужденных колебаний:
x mr x mk x Fm0 cos t x 2 x 02 x Fm0 cos t
x mr x mk x Fm0 cos t x 2 x 02 x Fm0 cos t
Здесь = r/2m – коэффициент затухания, 0 = (k/m)1/2 – собственная частота системы.
В теории линейных дифференциальных уравнений показывается, что решение этого уравнения имеет вид:
x A0e t ( t 0 ) Acos( t 0 )
Первое слагаемое – решение уравнения затухающих колебаний
–затухающее колебание с частотой = ( 02 - 2 ). Второе
слагаемое – вынужденное колебание с частотой , равной частоте вынуждающей силы.
xA0e t ( t 0 ) Acos( t 0 )
Затухание колебаний имеет значительную роль только на начальной стадии колебательного процесса. С течением времени первое слагаемое (экспоненциальный спад) быстро уменьшается.
По прошествии достаточного времени t, определяемого из
условия A0e– t << A, затуханием колебаний (т.е. первым слагаемым) можно пренебречь.
Промежуток времени, по истечении которого можно пренебречь затухающими колебаниями называется временем установления колебаний.
Определим амплитуду A, сдвиг фаз между смещением x и вынуждающей силой F в условиях, когда решение уравнения вынужденных колебаний можно представить в виде
x Acos( t )
Продифференцируем это выражение по времени, найдя скорость и ускорение тела:
x A sin( t ) A cos |
t |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x A 2 cos( t ) A 2 |
cos( t ) |
||
|
|
|
|
Подставим величину x, ее первую и вторую производные в дифференциальное уравнение вынужденных колебаний:
x 2 x 2 x A 2 cos( t ) 2 A cos |
t |
|
2 Acos( t ) |
F0 |
cos t |
||||
|
|||||||||
|
|
0 |
|
|
2 |
|
0 |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Теперь с помощью метода векторной диаграммы найдем графически сумму трех гармонических колебаний одинаковой частоты в левой части полученного выражения.
Для этого представим:
колебание 02Acos( t – ) в виде вектора длиной 02A;
колебание 2 A cos( t – + /2) в виде вектора длиной 2 A , повернутого на угол /2 против часовой стрелки относительно первого;
колебание 2Acos( t – + ) в виде вектора длиной 2A, повернутого на угол относительного первого вектора.
Сумма трех построенных векторов должна быть равна вектору, описывающему колебание
(F0/m)cos t правой части уравнения.
Из геометрических соображений следует, что
( 02 2 )A2 4 2 2 A2 |
|
F 2 |
|
|
0 |
||
m2 |
|||
Тогда амплитуда и |
|
начальная фаза вынужденного колебания: A
|
|
F0 |
|
|
|
tg |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
m ( 02 |
2 )2 |
4 2 |
2 |
|||||
|
02 2 |
|||||||
|
|
|||||||
Всякая механическая колебательная система характеризуется собственной частотой 0 и коэффициентом затухания . При заданных величинах 0 и амплитуда A вынужденных колебаний механической системы зависит от частоты вынуждающей силы:
A |
|
|
F0 |
|
m |
|
|
|
|
( 2 |
2 )2 4 2 2 |
|
||
0 |
|
|
||
Резонанс – явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний до своего максимального значения при определенном значении частоты вынуждающей силы.
Соответствующая частота называется резонансной частотой.