На рисунке изображена траектория точки, совершающей два перпендикулярные гармонические колебания одинаковых частот:
x cos t;
y 3cos( t )
Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний различны, то траектория точки представляет собой в общем случае незамкнутую кривую
Пример:
x 3cos t; y 2cos 2t
t 2 с
t 20 с
t 100 с
При сложении взаимно перпендикулярных колебаний с различными, но кратными частотами результирующее колебание происходит по траекториям, называемым
фигурами Лиссажу:
x A1 cos(n 01 ); y A2 cos(m 02 ); n, m Z
Вид фигуры Лиссажу зависит от соотношения частот, от амплитуд и начальных фаз складываемых колебаний.
На рисунке изображена траектория точки, совершающей два перпендикулярные гармонические колебания, частоты которых относятся как целые числа:
x 3cos |
5 t ; |
x 3cos 15 t ; |
||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y cos |
6 t |
|
|
|
46 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
y cos |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||
По виду фигуры Лиссажу можно судить о соотношении частот складываемых взаимно перпендикулярных колебаний:
отношение частот двух гармонических колебаний вдоль осей X и Y обратно пропорционально отношению числа пересечений фигуры Лиссажу осей X и Y.
X 2Y 3
ЛЕКЦИЯ 1. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
Во всякой колебательной системе есть силы трения и сопротивления среды (диссипативные силы), в которой находится тело. Действие этих сил приводит к уменьшению механической энергии тела. Если убыль энергии не восполняется за счет работы внешних сил, то колебания затухают. При этом механическая энергия превращается в теплоту.
Затухающими называются свободные колебания механической системы при наличии сил трения или сопротивления.
Получим уравнение затухающих колебаний на примере тела, колеблющегося в вязкой среде под действием упругой силы пружины.
Выведем тело из положения равновесия, растянув или сжав пружину и предоставим систему самой себе.
На тело действуют: сила упругости и сила сопротивления среды, направленная противоположно скорости тела: Fсопр = –rv, где r – коэффициент сопротивления среды.
Уравнение движения:
mx Fупр,x Fсопр,x |
mx kx rx |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
m x m x 0 |
|
|||||
|
|
r |
|
k |
|
|
|
|
|
||
x |
m x m x 0 |
||||
Обозначим: |
|
|
|
|
|
2rm ; 02 mk
Здесь – коэффициент затухания, 0 – циклическая частота свободных незатухающих гармонических колебаний. Тогда дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний примет вид:
x 2 x 02 x 0
x 2 x 02 x 0
Если < 0, то решение дифференциального уравнения затухающих колебаний имеет вид:
x A(t) cos( t |
0 |
), |
A(t) A e t , |
|
2 |
2 |
|
|
0 |
|
0 |
|
Здесь A(t) – амплитуда затухающих колебаний, A0 – начальная амплитуда. В отличие от гармонических колебаний, амплитуда затухающих колебаний зависит от времени – уменьшается с течением времени по экспоненциальному закону.
– циклическая частота затухающих колебаний, которая не совпадает с
циклической частотой 0 гармонических колебаний (собственной частотой механической системы).