На рисунке приведен пример сложения двух гармонических колебаний близких частот (50 и 49 Гц):
x1 |
|
50t |
|
||
2cos |
4 |
; |
|||
|
|
|
|
||
x2 |
|
49 |
|
||
3cos |
|
|
|||
|
|
|
|
3 |
|
а также суммарное
колебание x1 + x2 (обозначено черным цветом)
Биения представляют собой один из примеров модулированных колебаний, т.е. колебаний, происходящих по закону гармонических колебаний, в котором один из параметров периодически меняется со временем с периодом, значительно превышающим период основных колебаний.
Различают амплитудную, частотную и фазовую модуляции.
Если точка движется по плоскости таким образом, что ее проекции на оси X и Y совершают гармонические колебания, то говорят о сложении взаимно перпендикулярных гармонических колебаний.
При сложении колебаний одинаковой частоты
x A1 cos( t 01 ),
y A2 cos( t 02 )
траекторией точки в общем случае является наклонный
эллипс:
x2 |
|
y2 |
|
2xy |
cos( |
|
|
|
) sin 2 |
( |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
02 |
01 |
02 |
01 |
||||||||
A2 |
A2 |
A A |
|||||||||||||
1 |
|
2 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
y2 |
|
2xy |
cos( |
|
|
|
) sin 2 |
( |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
02 |
01 |
02 |
01 |
||||||||
A2 |
A2 |
A A |
|||||||||||||
1 |
|
2 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Такое движение точки называют эллиптически поляризованными колебаниями. Движение может происходить по часовой стрелке (при 2m < 02 – 01 < (2m+1) или против часовой стрелки; в этих случаях говорят о правой или левой эллиптической поляризации.
Выведем уравнение наклонного эллипса. Для этого
преобразуем уравнения гармонических колебаний вдоль осей |
||||||||||||||||||||||||||||||||
X и Y: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x A cos t cos t |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y A |
cos( t ) cos( t ) |
y |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
cos( t ) |
|
y |
cos t cos sin |
t sin |
x |
cos |
1 |
x2 |
|
sin ; |
||||||||||||||||||||||
|
A |
A |
A2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
y |
2 |
|
x |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2xy |
|
x |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
sin |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
A2 |
A2 |
|
|
A A |
1 |
A2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
x2 |
|
2xy |
|
sin 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
A2 |
A2 |
A A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
|
1 |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
На рисунке изображена траектория точки, совершающей два перпендикулярные гармонические колебания одинаковых частот:
x cos t ;
7
y 3cos |
t |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
12 |
||
|
|
|
||
При 02 – 01 = (2m + 1) /2 оси эллипса совпадают с осями координат:
x2 |
|
y2 |
1 |
|
A2 |
A2 |
|||
|
|
|||
1 |
|
2 |
|
x5cos t 5 ;
2
y 2cos t
На рисунке изображена траектория точки, совершающей два перпендикулярные гармонические колебания одинаковых частот:
x 5cos |
t |
5 ; |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
y 2cos t
При 02 – 01 = m эллипс вырождается в прямую; такое движение называется
линейно поляризованными колебаниями:
x2 |
|
y2 |
|
|
|
|
2xy |
0 |
||||||
A2 |
A2 |
|
|
A A |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
A |
|
|
|||||||||||
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
y |
A2 |
|
|
x |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||