Физический маятник – твердое тело, подвешенное на неподвижной горизонтальной оси и способное совершать малые колебания около вертикального положения равновесия под действием силы тяжести.

Точка подвеса O, расположенная на оси вращения Z тела массы m, не должна совпадать с центром масс C. Обозначим расстояния между точками O и C величиной a. Положение тела в пространстве задается углом между вертикалью и прямой OC.

Выведем тело из положения равновесия, отклонив его на малый угол , и

предоставим самому себе. Пусть трение отсутствует. Дальнейшее движение описывается уравнением вращения тела вокруг неподвижной оси:

zM z I mga sin

Здесь z = d2 /dt2 и Mz – проекции углового ускорения и момента внешних сил на ось Z вращения тела.

Момент силы реакции опоры (оси) N равен нулю, поскольку равно нулю плечо этой силы.

Следовательно, Mz есть проекция на ось Z силы тяжести:

M z mgasin mga

(считаем, что угол отклонения маятника мал). Таким образом, получим дифференциальное уравнение гармонических колебаний физического маятника:

mgaI 0

mgaI 0

Решение этого уравнения (угловая координата):

определяемые начальными условиями.

Циклическая частота и период колебаний физического маятника:

Приведенной длиной lпр физического маятника называется длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника. Найдем ее.

Согласно определению,

Отложим в направлении от точки O к точке C отрезок OO длины lпр.

Поскольку

точки O и O окажутся по разные стороны от центра масс C. Такие точки называются

сопряженными.

Центром качания физического маятника называется точка O , расположенная на расстоянии lпр от точки подвеса O на

прямой, соединяющей точки O и C.

Теперь мысленно подвесим маятник к точке O . Приведенная длина полученного маятника:

Здесь a - расстояние от точки C до точки O . По построению:

Таким образом, приведенные длины

маятников, подвешенных за проходящие через точки O и O параллельные оси,

одинаковы. Следовательно, одинаковыми являются и периоды колебаний этих маятников.

Мы доказали теорему Гюйгенса о центре качания: приведенные длины и периоды колебаний маятников, подвешенных на параллельных осях, расположенных на расстоянии lпр друг от друга, одинаковы.

ЛЕКЦИЯ 1. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

Пусть система участвует одновременно в двух гармонических колебаниях одинаковой частоты, направленных вдоль оси X:

x1 A1 cos( t 01 );

x2 A2 cos( t 02 )

Представим графически эти колебания на векторной диаграмме в начальный момент времени (t = 0)