
- •ЛЕКЦИЯ 1. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
- •Колебания – это такое изменения состояния системы, при котором ее параметры меняются со
- •Частотой (линейной частотой) периодических колебаний называют число колебаний, совершаемых за единицу времени:
- •Колебания величины x называются гармоническими, если эта величина меняется со временем t по
- •xAcos( t 0 )
- •xAcos( t 0 )
- •x Acos( t 0 )
- •Гармоническое колебание можно представить графически с помощью вращающегося вектора-амплитуды.
- •ЛЕКЦИЯ 1. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
- •Если смещение консервативной механической системы из положения устойчивого равновесия описывается одним параметром x,
- •Таким образом, при малых смещения из положения устойчивого равновесия:
- •В этом случае уравнение движения тела имеет вид:
- •Рассмотрим спиральную пружину жесткостью k, один конец которой закреплен неподвижно, а к другому
- •Если точка совершает гармонические колебания по закону
- •Математический маятник –
- •Физический маятник – твердое тело, подвешенное на неподвижной горизонтальной оси и способное совершать
- •Выведем тело из положения равновесия, отклонив его на малый угол , и
- •Момент силы реакции опоры (оси) N равен нулю, поскольку равно нулю плечо этой
- •mgaI 0
- •Приведенной длиной lпр физического маятника называется длина такого математического маятника, период колебаний которого
- •Отложим в направлении от точки O к точке C отрезок OO длины lпр.
- •Теперь мысленно подвесим маятник к точке O . Приведенная длина полученного маятника:
- •Таким образом, приведенные длины
- •ЛЕКЦИЯ 1. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
- •Пусть система участвует одновременно в двух гармонических колебаниях одинаковой частоты, направленных вдоль оси
- •Угловая скорость вращения
- •Таким образом, при сложении двух однонаправленных гармонических колебаний
- •На рисунке приведен пример сложения двух гармонических колебаний разных частот, амплитуд и начальных
- •При сложении однонаправленных гармонических колебаний с разными частотами
- •На рисунке приведен пример сложения двух гармонических колебаний разных частот, амплитуд и начальных
- •Однако при сложении колебаний с близкими частотами
- •На рисунке приведен пример сложения двух гармонических колебаний близких частот (50 и 49
- •Биения представляют собой один из примеров модулированных колебаний, т.е. колебаний, происходящих по закону
- •Если точка движется по плоскости таким образом, что ее проекции на оси X
- •При сложении колебаний одинаковой частоты
- •Выведем уравнение наклонного эллипса. Для этого
- •На рисунке изображена траектория точки, совершающей два перпендикулярные гармонические колебания одинаковых частот:
- •На рисунке изображена траектория точки, совершающей два перпендикулярные гармонические колебания одинаковых частот:
- •Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний различны, то траектория точки представляет собой в общем
- •При сложении взаимно перпендикулярных колебаний с различными, но кратными частотами результирующее колебание происходит
- •На рисунке изображена траектория точки, совершающей два перпендикулярные гармонические колебания, частоты которых относятся
- •По виду фигуры Лиссажу можно судить о соотношении частот складываемых взаимно перпендикулярных колебаний:
- •ЛЕКЦИЯ 1. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
- •Во всякой колебательной системе есть силы трения и сопротивления среды (диссипативные силы), в
- •Выведем тело из положения равновесия, растянув или сжав пружину и предоставим систему самой
- •Несмотря на то, что функция
- •Скорость тела при затухающих колебаниях равна
- •Коэффициент затухания
- •Время жизни колебаний - это промежуток времени, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается
- •Логарифмический декремент затухания ( ) – натуральный
- •Добротность Q – умноженное на число количество
- •Поскольку энергия системы прямо пропорциональна квадрату амплитуды A колебаний, то
- •При увеличении коэффициента сопротивления среды r и, соответственно, коэффициента затухания период затухающих колебаний
- •ЛЕКЦИЯ 1. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
- •Свободные колебания, возникающие под влиянием начального толчка, ввиду действия сил трения и сопротивления,
- •Вынужденные колебания – колебания, возникающие в механической системе под действием внешней периодической силы
- •xA0e t ( t 0 ) Acos( t 0 )
- •Определим амплитуду A, сдвиг фаз между смещением x и вынуждающей силой F в
- •Подставим величину x, ее первую и вторую производные в дифференциальное уравнение вынужденных колебаний:
- •Сумма трех построенных векторов должна быть равна вектору, описывающему колебание
- •Всякая механическая колебательная система характеризуется собственной частотой 0 и коэффициентом затухания . При
- •На рисунке построен график зависимости амплитуды A вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы.
- •Амплитуда Amax вынужденных колебаний в условиях резонанса (максимальная амплитуда):
- •На рисунке изображено семейство резонансных кривых при различных значениях коэффициента затухания
- •Стремление 0 означает, что
- •Амплитуда вынужденного колебания равна величине смещения тела из положения равновесия:

Физический маятник – твердое тело, подвешенное на неподвижной горизонтальной оси и способное совершать малые колебания около вертикального положения равновесия под действием силы тяжести.
Точка подвеса O, расположенная на оси вращения Z тела массы m, не должна совпадать с центром масс C. Обозначим расстояния между точками O и C величиной a. Положение тела в пространстве задается углом между вертикалью и прямой OC.

Выведем тело из положения равновесия, отклонив его на малый угол , и
предоставим самому себе. Пусть трение отсутствует. Дальнейшее движение описывается уравнением вращения тела вокруг неподвижной оси:
zM z I mga sin
Здесь z = d2 /dt2 и Mz – проекции углового ускорения и момента внешних сил на ось Z вращения тела.

Момент силы реакции опоры (оси) N равен нулю, поскольку равно нулю плечо этой силы.
Следовательно, Mz есть проекция на ось Z силы тяжести:
M z mgasin mga
(считаем, что угол отклонения маятника мал). Таким образом, получим дифференциальное уравнение гармонических колебаний физического маятника:
mgaI 0

mgaI 0
Решение этого уравнения (угловая координата):
|
mga |
t 0 |
|
|
|
max cos |
I |
|
|
Здесь max и 0 – |
|
|
|
|
|
|
фаза колебаний, |
определяемые начальными условиями.
Циклическая частота и период колебаний физического маятника:
|
|
|
|
|
|
|
mga |
; T 2 |
I |
|
|
I |
mga |
|
|||
|
|
|
|

Приведенной длиной lпр физического маятника называется длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника. Найдем ее.
Согласно определению,
T |
T |
2 |
mga |
2 |
|
g |
|
l |
|
|
I |
|
|
пр |
|
||||||||
физ |
мат |
|
I |
lпр |
|
ma |
|||||
|
|
|
|
|

Отложим в направлении от точки O к точке C отрезок OO длины lпр.
Поскольку
lпр |
I |
|
I |
C |
ma2 |
|
I |
C |
a a |
ma |
|
|
ma |
ma |
|||||
|
|
|
|
|
|
точки O и O окажутся по разные стороны от центра масс C. Такие точки называются
сопряженными.
Центром качания физического маятника называется точка O , расположенная на расстоянии lпр от точки подвеса O на
прямой, соединяющей точки O и C.

Теперь мысленно подвесим маятник к точке O . Приведенная длина полученного маятника:
l |
|
IC |
|
a |
|
||||
пр |
|
ma |
|
|
|
|
|
Здесь a - расстояние от точки C до точки O . По построению:
a lпр a a |
IC |
|
a |
|
IC |
|
|
|||||
ma |
|
ma |
|
|||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
l |
|
IC |
|
|
IC |
|
|
|
IC |
a l |
||
|
|
|
|
|
|
|||||||
пр |
|
ma |
|
mIC |
ma |
|
|
ma |
пр |
|||
|
|
|
|
|
|

Таким образом, приведенные длины
маятников, подвешенных за проходящие через точки O и O параллельные оси,
одинаковы. Следовательно, одинаковыми являются и периоды колебаний этих маятников.
Мы доказали теорему Гюйгенса о центре качания: приведенные длины и периоды колебаний маятников, подвешенных на параллельных осях, расположенных на расстоянии lпр друг от друга, одинаковы.

ЛЕКЦИЯ 1. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

Пусть система участвует одновременно в двух гармонических колебаниях одинаковой частоты, направленных вдоль оси X:
x1 A1 cos( t 01 );
x2 A2 cos( t 02 )
Представим графически эти колебания на векторной диаграмме в начальный момент времени (t = 0)