Колебания частиц, положения равновесия которых принадлежат другой волновой поверхности, отстоящей на расстояние l первой, запаздывают по времени на величину = l/v, где v – скорость волны:

Поскольку расстояние l можно представить в виде l = r n, где

r – радиус-вектор произвольной точки рассматриваемой волновой поверхности, n – вектор нормали к ней, то

22

Таким образом, уравнение плоской гармонической волны, распространяющейся в произвольном направлении, заданном единичным вектором n или волновым вектором k, имеет вид

(r ,t) Acos t k r 0

23

Волновым уравнением называется дифференциальное уравнение, решением которого является уравнение распространяющейся в пространстве плоской (сферической, цилиндрической и т.д.) волны.

Получим волновое уравнение путем дифференцирования одного из его решений, например, уравнения плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении:

Acos( t k r 0 ) Acos( t kx x k y y kz z 0 )

24

Acos( t k r 0 ) Acos( t kx x k y y kz z 0 )

Вычислим вторую производную от по времени t и вторые производные от по координатам x, y, z:

kx2 k y2 kz2 k 2

26

Учитывая, что k = /v, где v – фазовая скорость волны, получим волновое уравнение:

1 2v2 t2

Можно показать, что любая функция вида

f (x, y, z,t) f ( t k r ) тоже является решением волнового уравнения.

28

ЛЕКЦИЯ 2. ВОЛНЫ В УПРУГИХ СРЕДАХ

29

Для вычисления энергии упругой волны выделим в среде, где распространяется волна, малый объем V, масса которого равна V, где – плотность вещества среды.

Пусть плоская продольная волна распространяется вдоль оси

X:

Acos( t kx 0 )

Благодаря волне объем V приобретает скорость и кинетическую энергию:

A sin( t kx 0 );

12 V 12 VA 2 2 sin2 ( t kx 0 )

30