Физика_1 / Физика_Шилова / Часть2-2

97

Оптика. Физика атома и атомного ядра

Основные формулы

Формула тонкой линзы
Оптическая сила линзы	D = 1 / F
Оптическая сила двух линз	D = D1 + D2
Линейное увеличение линзы
Угловое увеличение лупы	Г = L / F
Угловое увеличение микроскопа
Освещенность поверхности	E = Ф / S
Освещённость, создаваемая изотропным точечным источником света
Условие максимумов интенсивности света при интерференции	∆ =  k (k = 0, 1, 2, ...)
Условие минимумов интенсивности света при интерференции	(k = 0, 1, 2, ...)
Условие главных максимумов для дифракционной решётки	d sin =  k (k = 0, 1, 2, ...)
Угол поворота плоскости поляризации в растворах	 = [] c l
Закон Стефана – Больцмана	R = T4
Закон Вина	max = b / T
Энергия фотона	 = h = hc / 
Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта
Красная граница фотоэффекта	min = A / h max = hc / A
Закон взаимосвязи массы и энергии	E = mc2
Энергетическая освещённость, облучённость
Давление света при нормальном падении на поверхность
Сериальная формула для атома водорода
Длина волны де Бройля
Период полураспада
Основной закон радиоактивного распада	N = Ne-t
Активность радиоактивного изотопа
Дефект массы ядра
Энергия связи ядра	Есв = ∆mc2
Удельная энергия связи

Примеры решения задач

Пример 1. Фокусное расстояние объектива микроскопа F_об = 5 мм, окуляра F_ок = 25 мм. Предмет находится на расстоянии а = 5,1 мм от объектива. Вычислить угловое увеличение Г и длину тубуса l микроскопа.

Дано: Fоб = 5 мм = 5∙10-3 м; Fок = 25 мм = 25∙10-3 м; а = 5,1 мм = 5,1∙10-3 м. Найти: Г; l.

Решение: Оптическая система микроскопа представляет собой комбинацию двух короткофокусных линз – объектива и окуляра. Схема построения изображения в микроскопе приведена на рис. 1.

Предмет помещают непосредственно перед фокусом F_об объектива. Расстояние между окуляром и объективом обычно подбирают так, чтобы действительное увеличенное перевёрнутое изображение A'B', даваемое объективом, находилось между фокусом F_ок окуляра и окуляром, близко к фокусу окуляра.

Окуляр, действуя как лупа, даёт увеличенное мнимое изображение А"В", расположенное между задним фокусом объектива и передним фокусом окуляра.

Полное угловое увеличение микроскопа

Г = Г_об∙Г_ок, (1)

где Г_об – угловое увеличение объектива; Г_ок – угловое увеличение окуляра.

Г_об и Г_ок определяются по формулам:

; , (2)

где b – расстояние от объектива до даваемого им промежуточного изображения A'B'; L_н = 25 см – расстояние наилучшего зрения для нормального глаза.

С учётом (1) и (2)

. (3)

Используя формулу тонкой линзы для объектива , находим .

Зная b, определим увеличение микроскопа по формуле (3) .

Длину тубуса микроскопа (расстояние от объектива до окуляра) рассчитываем, исходя из того, что изображение А'B', даваемое объективом, практически должно лежать в фокусе окуляра. Поэтому длина тубуса l = b + F_ок = 25,5∙10^–2 + 25∙10^–3 м = 28 см.

Ответ: Г = 510; l = 28 см.

Пример 2. На каком расстоянии друг от друга необходимо подвесить лампы в теплицах, чтобы освещённость Е на поверхности Земли в точке, лежащей посередине между двумя лампами, была не менее 200 лк? Высота теплицы h = 2 м. Сила света каждой лампы I₁= I₂ = 800 кд (рис. 2).

Дано: Е = 200 лк; h = 2 м; I1= I2 = 800 кд. Найти: l.

Р ис. 2

Решение: Освещённость Е в точке А (рис. 2) есть сумма освещённостей, создаваемых каждой лампой в отдельности,

Е = Е₁ + Е₂. (1)

Поскольку лампы имеют одинаковые световые характеристики и равноудалены от точки А, то

Е₁ = Е₂. (2)

Лампы можно принять за точечные источники света, так как их размеры малы по сравнению с расстоянием до точки А, в которой освещённость равна Е.

Освещённость одного изотропного точечного источника по определению

, (3)

где  – угол падения лучей в точку А; r – расстояние от лампы до точки А; cos = h/r.

С учётом формул (2) и (3) освещённость в точке А от обоих источников света S₁ и S₂

. (4)

Откуда

. (5)

По теореме Пифагора из треугольника SOA находим

.

В соответствии с рис. 2 искомое расстояние

. (6)

Подставив выражение (5) в (6), получим:

. (7)

Вычислим .

Ответ: l = 3,04 м.

Пример 3. Найти все длины волн видимого света (от _фиол = 0,38 мкм до _кр = 0,76 мкм), которые будут: 1) максимально усилены; 2) максимально ослаблены при оптической разности хода ∆ интерферирующих волн, равной 1,8 мкм.

Дано: фиол = 0,38 мкм = 38·10-8 м; кр = 0,76 мкм = 76·10-8 м; ∆ = 1,8 мкм = 18·10-8 м. Найти: max; min.

Решение: Условие максимумов интенсивности света при интерференции выполняется, если на оптической разности хода укладывается целое число длин волн

, (1)

где k = 0, 1, 2, 3, 4,...... – порядок максимума.

Исходя из формулы (1), проведем расчет длин волн  для k = 1, 2, 3, 4, 5. Получим следующие значения длин волн:

при k = 1 1 = 1,8 мкм, при k = 2 2 = 0,9 мкм, при k = 3 3 = 0,6 мкм,

при k = 4 4 = 0,45 мкм, при k = 5 5 = 0,36 мкм.

Сравнивая полученные значения длин волн с границами указанного видимого диапазона, определяем, что максимально усилены будут волны с длинами ₃ = 0,6 мкм и ₄ = 0,45 мкм.

Условие минимумов интенсивности света при интерференции выполняется, если на оптической разности хода укладывается нечётное число длин полуволн

, (2)

где k = 0, 1, 2,….– порядок минимума.

По аналогии с первой частью решения подстановкой различных значений k в формулу (2), находим длины волн, которые будут максимально ослаблены.

Это волны с длинами ^’₄ = 0,72 мкм, ^’₅= 0,51 мкм и ^’₆ = 0,4 мкм при k = 4, k = 5, k = 6.

Ответ: Максимально усилены волны с длинами 0,6 мкм и 0,45 мкм; максимально ослаблены волны с длинами 0,4 мкм, 0,51 мкм и 0,72 мкм.

Пример 4. На дифракционную решётку нормально к её поверхности падает параллельный пучок света с длиной волны  = 0,5 мкм. Помещённая вблизи решётки собирающая линза проецирует дифракционную картину на плоский экран, удалённый от линзы на расстояние L = 1 м. Расстояние l между двумя максимумами интенсивности первого порядка, наблюдаемыми на экране, равно 20,2 см (рис. 3). Определить: постоянную решётки d; число n штрихов на 1 мм; число N максимумов интенсивности, которое даёт решётка; максимальный угол _max отклонения лучей, соответствующий последнему дифракционному максимуму.

Дано:  = 0,5 мкм = 5∙10–7 м; L = 1 м; l = 20,2 см = 20,2·10–2м; k = ± 1. Найти: d; n; N; φmax.

Р ис. 3

Решение: Постоянная d решётки, длина волны  и угол  отклонения лучей, соответствующих k-му дифракционному максимуму, связаны соотношением

, (1)

где k – порядок спектра или в случае монохроматического света порядок максимума.

Ввиду того, что для максимума первого порядка угол  мал, можно принять

. (2)

С учётом формул (1) и (2) постоянная решётки

. (3)

Отсюда .

Число штрихов на 1 мм решётки найдём по формуле

. (4)

Следовательно, .

Для определения числа максимумов, даваемых дифракционной решёткой, вычислим сначала максимальное значение k_max, исходя из того, что максимальный угол отклонения лучей решётки не может превышать 90^. Для k_max формула (1) принимает вид

. (5)

Подставляя значения величин, получим k = 9,9.

Число k обязательно должно быть целым. В то же время оно не может принять значение, равное 10, так как при этом значение sin должно быть больше единицы, что невозможно. Поэтому k_max = 9.

Дифракционная картина расположена симметрично относительно центрального максимума (k = 0), следовательно, влево и вправо от него будет наблюдаться по одинаковому числу максимумов и полное их число c учетом центрального максимума

N = 2 k_max+ 1 = 19. (6)

Для определения максимального угла отклонения лучей, соответствующего последнему дифракционному максимуму (k_max = 9), выразим из соотношения (1) синус этого угла: .

Отсюда .

Произведя вычисления, получим  _max = 65,4^.

Ответ: d = 4,95 мкм; n = 202 мм^-1; N = 19;  _max = 65,4^.

Пример 5. Определить концентрацию С сахарного раствора, если при прохождении света через трубку длиной l = 20 см с этим раствором плоскость поляризации света поворачивается на угол  = 10^. Удельное вращение раствора сахара [] = 0,6 град/(дм∙%).

Дано: l = 20 см = 0,2 м;  = 10; [] = 0,6 град/(дм∙%) = 6 град/(м∙%). Найти: С.

Решение: Угол поворота плоскости поляризации оптически активного раствора определяется по формуле

 = []C∙l, (1)

где С – концентрация раствора; l – расстояние, проходимое светом в растворе; [] – удельное вращение раствора.

Отсюда

. (2)

Подставим числовые значения величин в (2) и вычислим .

Ответ: С = 8,33 %.

Пример 6. Плоская монохроматическая световая волна 1 падает на изотропную прозрачную плоскопараллельную пластинку с показателем преломления n и толщиной d под углом  (рис. 4). За счёт отражения света от верхней и нижней поверхностей пластинки в направлении отражённых лучей 1' и 1" распространяются две плоские волны. Найти оптическую разность хода ∆ этих волн.

Дано: n; d; . Найти: ∆.

Р ис. 4

Решение: Для простоты рассмотрим луч 1, показывающий направление распространения волны. На поверхности пластинки в точке О луч 1 разделяется на два: частично отражается от верхней поверхности пластинки, а частично – преломляется. Преломлённый луч, дойдя до точки C, частично преломляется в воздух, а частично отражается от нижней поверхности пластинки (границы раздела двух сред). В точке D он опять частично отражается и преломляется, выйдя в воздух под углом .

Оптическая разность хода лучей 1' и 1" от точки O до плоскости АD

∆ = L₂ - L₁, (1)

где L₁ и L₂ – оптические длины путей световых волн в направлении распространения лучей 1' и 1" соответственно.

Оптическая длина пути равна произведению геометрического пути l, пройденного светом в среде, и показателя преломления n этой среды:

L = n∙l. (2)

Для световой волны в направлении луча 1' оптическую длину пути найдём по формуле

, (3)

где n₁ – показатель преломления воздуха (n₁ = 1).

Добавление слагаемого _/2 обусловлено потерей половины волны при отражении от оптически более плотной среды (_ – длина волны в вакууме).

Согласно рис. 4

l₁ = ОА = ОD∙sin = 2d∙tg∙sin. (4)

Для второй волны, распространяющейся в направлении луча 1",

L₂ = n₂(OC + CD). (5)

Из рис. 4

OC = CD = d / cos.

Учитывая формулы (3), (4), (5) и закон преломления , получим: .

Ответ: .

Пример 7. Максимум энергии излучения чёрного тела при некоторой температуре приходится на длину волны _m = 1 мкм. Определить излучательность тела при этой температуре и энергию W, излучаемую с площади S = 300 см² поверхности тела за время t = 1 мин; массу излучаемых фотонов, соответствующую энергии W.

Дано: m = 1 мкм = 10–6 м; S = 300 см2 = 3∙10–2 м2; t = 1 мин = 60 с. Найти: Ro; W; m.

Р ис. 5

Решение: Энергетическую светимость (излучательность) абсолютно чёрного тела определим из закона Стефана–Больцмана

R₀ =  Т⁴, (1)

где  – постоянная Больцмана ( = 5,67∙10^–8 Вт/(м²К⁴)); T – термодинамическая температура.

Распределение энергии в спектре излучения абсолютно чёрного тела является неравномерным и имеет ярко выраженный максимум, который по мере повышения температуры смещается в сторону более коротких длин волн (рис. 5). По закону Вина длина волны _m, на которую приходится максимум энергии излучения абсолютно чёрного тела, обратно пропорциональна термодинамической температуре T:

, (2)

где b – постоянная Вина (b = 2,89∙10^–3 м∙K).

С учётом (2) формула (1) примет вид:

. (3)

Энергию, излучаемую с площади S поверхности тела за время t, определим по формуле

W = R_St. (4).

Отсюда W = 5,67∙10^–8(2,89∙10^–3/ 10^–6)⁴ ∙3∙10^–2∙60 Дж = 7,1 МДж.

Из соотношения взаимосвязи энергии и массы W = mc² найдём массу излучаемых фотонов

m=W / c², (5)

где c – скорость света в вакууме.

Подставляя числовые значения, получим

.

Ответ: R_o = 5,67·10^-8 Дж/м²с; W = 7,1 МДж; m = 7,88∙10^–11 кг.

Пример 8. Определить: кинетическую энергию W_к; скорость фотоэлектронов  при облучении натрия светом длиной волны  = 400 нм, если красная граница (порог) внешнего фотоэффекта для натрия _max = 600 нм.

Дано:  = 400 нм = 4∙10–7 м; max = 600 нм = 6∙10–7 м. Найти: Т; ;Wк.

Решение: Кинетическую энергию фотоэлектронов найдём из уравнения Эйнштейна для внешнего фотоэффекта:

, (1)

где h – постоянная Планка (h = 6,63∙10^-34Дж∙с); v – частота света; А – работа выхода электрона; W_к = m²/2 – кинетическая энергия электрона; т – масса электрона;  – скорость электрона.

Из уравнения (1) следует

W_к = m²/2 = hv – A. (2)

Частоту света определим по формуле

v = c/, (3)

где с = 3∙10⁸ м/с – скорость света в вакууме;  – длина волны падающего света.

При облучении поверхности металла светом частотой v_min, соответствующей красной границе фотоэффекта, кинетическая энергия фотоэлектронов равна нулю, поэтому уравнение (1) примет вид

hv_min = А.

Отсюда с учётом формулы (3) работа выхода

А = hс/_max. (4)

Подставим в (2) формулы (3) и (4):

. (5)

Вычислим .

Из формулы W_к = m²/2 выразим скорость электронов:

.

Произведя вычисления, получим .

Ответ: W_к = 1,04 эВ;  = 606 км/с.

Пример 9. Определить энергию и длину волны фотона, излучаемого атомом водорода при переходе электрона с третьего энергетического уровня на первый, который соответствует основному (невозбужденному) состоянию.

Дано: n = 1; k = 3. Найти: ; .

Решение: Переход электрона в атоме водорода с одного энергетического уровня на другой сопровождается излучением фотона, энергия которого

 = hv = hc/, (1)

где h – постоянная Планка; с – скорость света в вакууме; v,  – частота и длина волны, соответствующие фотону с энергией .

Длина волны излучаемого фотона связана с номерами уровней соотношением

, (2)

где R – постоянная Ридберга (R = 1,1∙10⁷ м^–1); п – номер энергетического уровня, на который переходит электрон; m – номер энергетического уровня, с которого уходит электрон.

Следовательно,

. (3)

Подставим числовые значения в формулу (3), получим

.

Энергию фотона найдём по формуле (1) .

Ответ:  = 102 нм;  = 12,2 эВ.

Пример 10. На поверхность площадью S = 3 см² за время t = 10 мин падает свет, энергия которого W = 20 Дж. Определить: облучённость (энергетическую освещённость) поверхности Е_е; световое давление р и силу F светового давления на поверхность, в случаях полного поглощения и полного отражения падающего излучения.

Дано: S = 3 см2 = 3∙10–4 м2; t = 10 мин = 600 с; W = 20 Дж. Найти: Ее; р1; F1; р2; F2.

Решение: По определению облученность

. (1)

Отсюда .

Световое давление найдём по формуле

, (2)

где с – скорость света в вакууме; ρ – коэффициент отражения.

Если поверхность полностью поглощает излучение, то ρ = 0 и тогда .

Если поверхность зеркальная, то коэффициент ρ = 1 и тогда .