Физика_1 / Физика_Шилова / Часть2-1

80

Механические и электромагнитные колебания и волны

Основные формулы

Уравнение гармонических колебаний
Соотношение между периодом, частотой и круговой (циклической) частотой
Скорость точки при гармонических колебаниях
Ускорение точки при гармонических колебаниях
Сила, действующая на колеблющуюся материальную точку
Полная энергия колеблющейся материальной точки
Период колебаний математического маятника
Период колебаний пружинного маятника
Длина волны
Уравнение плоской волны
Скорость света в среде
Связь между разностью фаз и разностью хода
Период колебаний идеального колебательного контура

Примеры решения задач

Пример 1. Написать уравнение гармонического колебания материальной точки с амплитудой А = 0,1 м, периодом Т = 2 с и начальной фазой φ₀ = 0. Найти амплитудные значения скорости υ_max и ускорения а_max; скорость υ и ускорение а в момент времени t = 1/6 c. Построить графики зависимости смещения, скорости и ускорения от времени.

Дано: А = 0,1 м; Т = 2 с; φo = 0; t = 1/6 c. Найти: υmax; аmax; υ; а.

Решение: Запишем уравнение гармонического колебания в виде:

. (1)

Скорость материальной точки равна производной от смещения по времени:

. (2)

Отсюда максимальная скорость

. (3)

Ускорение определяется как производная от скорости точки по времени:

. (4)

Амплитудное значение ускорения

. (5)

Подставляя числовые значения в (1), (3) и (5), получим: , , .

Проведя вычисления по формулам (2) и (4), найдём значения скорости и ускорения в момент времени t = 1/6 с:

, .

Рис. 1

На рис.1 представлены графики зависимости смещения, скорости и ускорения от времени для материальной точки, совершающей гармоническое колебание при начальной фазе _ = 0.

Ответ: x = 0,1cоsπ∙t; _max = 0,3 м/с; а_max = 1 м/с²;  = –0,16 м/с; а = – 0,85 м/с².

Пример 2. Материальная точка массой m = 10 г колеблется по закону x = 0,05sin6t. Найти максимальную силу, действующую на точку, и её полную энергию. Построить графики зависимости потенциальной, кинетической и полной энергий от времени.

Дано: m = 10 г = 10-2 кг; x = 0,05sin6t. Найти: Fmax; W.

Решение: Модуль силы, действующей на точку, совершающую гармонические колебания, найдём по второму закону Ньютона

F = ma, (1)

где a = ²x– ускорение материальной точки.

Отсюда

F = m²x = mA² sint. (2)

Максимальная сила

. (3)

По условию задачи А = 0,05 м,  = 6 рад/c, следовательно

.

Кинетическая энергия гармонически колеблющейся точки

. (4)

В процессе гармонических колебаний сила изменяется пропорционально смещению, поэтому в каждый момент времени потенциальная энергия материальной точки

, (5)

где k = m² – постоянный коэффициент для данной системы.

Полная энергия колебаний определяется по формуле

. (6)

Отсюда найдём .

Для построения графиков определим период колебаний материальн ой точки .

Рис. 2. Графики зависимости смещения, потенциальной, кинетической и полной энергий от времени при гармонических ко-лебаниях (_ = 0)

Из графиков (рис. 2) и формул (3) и (4) следует, что W_п и W_к изменяются в противофазе, с частотой в 2 раза большей, чем частота колебаний материальной точки, а полная энергия W = W_п + W_к с течением времени не изменяется.

Ответ: F_max = 18 мН; W = 0,45 мДж.

Пример 3. Как изменится период колебаний математического маятника при переносе его с Земли на Луну?

Дано: Мз = 5,98· 1024 кг; Мл = 7,33·1022 кг; Rз= 6,37·103 км = 6,37 ·106 м; Rл= 1,74·103 км = 1,74·106 м. Найти: Тз / Тл.

Решение: Периоды колебаний математического маятника на Земле и на Луне соответственно равны

и , (1) где g_з, g_л – ускорения свободного падения на поверхности Земли и Луны, l – длина маятника.

Из закона всемирного тяготения находим ускорения g_з и g_л

; , (2)

где G – гравитационная постоянная.

Найдём отношение периодов колебаний маятника

. (3)

Подставив числовые данные в (3), получим: .

Ответ: Период колебаний маятника на Луне больше, чем на Земле, в 2,5 раза.

Пример 4. Цилиндр высотой h = 10 см, плотность материала которого  = 0,8·10³ кг/м³, плавает в воде (рис. 3). Если его погрузить в воду несколько глубже, а затем отпустить, то цилиндр начнёт совершать колебания около положения равновесия. Считая колебания цилиндра гармоническими и незатухающими, определить период Т его колебаний.

Дано: h = 10 см = 0,1 м;  = 0,8·103 кг/м3; в = 103 кг/м3. Найти: Т.

Р ис. 3

Решение: В задаче рассматриваются незатухающие колебания, поэтому силами сопротивлений можно пренебречь. На плавающий цилиндр действуют сила тяжести , направленная вертикально вниз, и сила Архимеда , направленная вертикально вверх. Сила тяжести при колебаниях цилиндра постоянна, а архимедова сила меняется, так как зависит от объёма его погружённой части.

Когда цилиндр плавает, колебания не наблюдаются, следовательно, векторная сумма сил равна нулю:

.

Выбрав вертикальную ось координат и проецируя на неё эти силы, получим

или , (1)

где V = S·x_ – объём погружённой части цилиндра в положении равновесия; S – площадь поперечного сечения; x_ – глубина погружения.

Масса цилиндра

m = ·S·h. (2)

Небольшое погружение цилиндра в воду на некоторую глубину Δх относительно положения равновесия приводит к увеличению объёма погружённой части

V = S(x_ + Δx).

Архимедова сила увеличится

F_A= _в·gS(·x + Δx).

В результате равновесие нарушится, следовательно, равнодействующая сила

F = mg – F'_A.

С учётом (1)

. (3)

Цилиндр совершает гармонические колебания только в том случае, если сила в процессе колебаний изменяется пропорционально смещению Δх и направлена к положению равновесия:

. (4)

Сравнивая выражения (3) и (4), находим

. (5)

Если колебания совершаются под действием силы, изменяющейся по закону (4), то независимо от природы этой силы период колебаний

. (6)

Подставив выражения (2) и (5) в формулу (6), получим:

. (7)

Период колебаний цилиндра .

Ответ: Т = 0,56 с.

Пример 5. Звуковые колебания, имеющие частоту  = 0,5 кГц и амплитуду А = 0,25 мм, распространяются в воздухе со скоростью  = 340 м/с. Определить длину волны , фазу  колебаний, смещение (х,t) и скорость частиц среды, отстоящих на расстоянии х₁ = 0,4 м от источника волн в момент времени t = 2 мс.

Дано:  = 0,5 кГц = 500 Гц; А = 0,25 мм = 0,25·10-3 м;  = 340 м/с; х1 = 0,4 м; t = 2 мс. Найти: ;  ; ; .

Р ис. 4

Решение: Длина волны  равна расстоянию, на которое распространяется колебание за один период (рис. 4):

. (1)

Подставляя значения величин  и , получим: .

Уравнение плоской волны:

, (2)

где  – смещение колеблющихся частиц, находящихся на расстоянии х от источника;  – скорость распространения волны.

Фаза колебаний частиц с координатой х₁ = 0,4 м в момент времени t = 2 мс определяется выражением

. (3)

Взяв производную от смещения по времени, находим скорость :

. (4)

Подставив значения величин в выражения (2), (3), (4), в момент времени t = 2 с для частиц среды с координатой х = 0,4 м получим:

фазу колебаний или  = 148 º;

смещение ;

скорость .

Ответ:  = 0,68 м;  = 2,58 рад;  = 0,21 мм; .

Пример 6. Волны частотой ν = 0,5 кГц распространяются со скоростью  = 400 м/с. Чему равна разность фаз двух точек волны, если они удалены друг от друга на расстояние Δr = 0,2 м и лежат на прямой, перпендикулярной фронту волны?

Дано:  =400 м; ν = 0,5 кГц = 500 Гц; Δr = 0,2 м. Найти: Δ.

Решение: Если две точки волны удалены друг от друга на расстояние, равное длине волны , то разность фаз между ними равна 2. Следовательно, если точки отстоят друг от друга на Δr, то разность фаз этих точек найдём по формуле

. (1)

Длина волны . (2)

Из (1) и (2) следует

Ответ: Δ = 0,5 рад.

Пример 7. Длина волны красного света в вакууме (воздухе) ₁ = 0,7 мкм. Какой будет длина волны ₂ и её скорость  распространения в воде? Какой цвет видит человек, открывший глаза в воде?

Дано: 1 = 0,7 мкм = 0,7·10-6 м; с =3·108 м/с; п = 1,33. Найти: 2; .

Решение: По определению абсолютный показатель преломления среды показывает, во сколько раз скорость света в вакууме больше скорости света в данной среде:

, (1)

где с – скорость света в вакууме;  – скорость света в среде.

Из формулы (1) находим скорость распространения света в воде: .

Длина волны света в вакууме . (2)

Длина волны в среде (3)

Следовательно, .

Воспринимаемый глазом цвет излучения зависит от частоты света, которая при переходе света из одной среды в другую не меняется. В воде человек увидит красный цвет.

Ответ:  = 2,25·10⁸ м/с; ₂ = 0,53 мкм.

Пример 8. На какой диапазон длин волн и частот можно настроить колебательный контур радиоприёмника, если в контур включены катушка переменной индуктивности от L₁ = 0,5 мкГн до L₂ = 10 мкГн и конденсатор переменной ёмкости от С₁ = 10 пФ до С₂ = 500 пФ. Активным сопротивлением контура пренебречь.

Дано: L1 = 0,5 мкГн = 0,5·10-6 Гн; L2 = 10 мкГн = 10-5 Гн; С1 = 10 пФ = 10-11 Ф; С2 = 500 пФ = 5·10-10 Ф;  = 3·108 м/с. Найти: от 1 до 2; от 1 до2.

Решение: Длина волны связана с периодом колебаний Т следующим соотношением:

 = ·Т, (1)

где  = 3·10⁸ м/с – скорость распространения электромагнитных волн в вакууме.

Период колебаний идеального колебательного контура определяется по формуле

. (2)

Минимальная длина волны диапазона

, (3)

Длине волны ₁ соответствует максимальная частота

. (4)

Максимальная длина волны диапазона

, (5)

ей соответствует минимальная частота

. (6)

Подставив числовые значения величин в формулы (3), (4), (5), (6), получим: , , , .

Ответ: ₁ = 0,2 м; ₂ = 2,1 м; ₁ = 15∙10⁸ Гц; ₂ = 1,43∙10⁸ Гц.

Пример 9. Маленький шарик подвешен на нити длиной l = 1 м к потолку вагона. При какой скорости вагона шарик будет особенно сильно раскачивается под действием ударов колёс о стыки рельсов? Длина рельсов s = 12,5 м.

Дано: l = 1 м; s = 12,5 м. Найти: .

Решение: Шарик совершает вынужденные колебания, которые вызваны ударами колёс вагона о стыки рельсов. Частота  вынуждающей силы равна:

, (1)

где  – скорость движения вагона.

Размеры шарика малы по сравнению с длиной нити, поэтому период его колебаний определим как для математического маятника:

.

Частота собственных колебаний шарика

. (2)

Амплитуда вынужденных незатухающих колебаний максимальна в случае резонанса, когда

(3)

Подставляя в условие (3) выражения (1) и (2), найдём

,

откуда .

С учётом числовых значений .

Ответ:  = 6,2 м/с.

Пример 10. На гладком горизонтальном столе лежит шар массой М = 240 г, прикреплённый к невесомой пружине, жёсткость которой k = 40 кН/м. Другой конец пружины закреплён. В шар попадает пуля массой m = 10 г, имеющая в момент удара скорость ₁ = 400 м/с, направленную вдоль оси пружины (рис. 5). Пуля застревает в шаре. Определить амплитуду колебаний шара.

Дано: М =240 г = 24·10-2 кг; k = 40 кН/м = 40·103 Н/м; m =10 г = 10-2 кг; 1 = 400 м/с. Найти: А.

Р ис. 5

Решение: Скорость шара ₂ после неупругого удара (рис. 5а ) определяется из закона сохранения импульса:

, (1)

откуда

. (2)

В момент соударения пуля сообщает шару кинетическую энергию, вследствие чего шар и пуля начинают сжимать пружину. Сжатие пружины будет продолжаться до тех пор, пока вся кинетическая энергия движения шара и пули Е₁ не перейдёт в потенциальную энергию деформации пружины Е₂. Согласно закону сохранения энергии

Е₁ = Е₂. (3)

В начальный момент движения энергия колеблющейся системы

Е₁ = Е_ш +Е_пр +Е_п,

где Е_ш, Е_пр, Е_п – энергии шара, пружины, пули, соответственно.

Учитывая, что в начале пружина не деформирована, то есть Е_пр = 0, а шар и пуля движутся со скоростью ₂, находим

. (4)

Потенциальная энергия пружины достигнет максимума, когда кинетическая энергия шара и пули станет равной нулю (рис. 5б). При этом смещение шара и пули от положения равновесия будет максимальным:

Е_ш = 0, Е_п = 0, .

Следовательно, энергия системы тел

. (5)

Подставляя (4) и (5) в (3), получим

(6)

С учётом (2) имеем

. (7)

Из уравнения (7) амплитуда колебаний шара А равна:

. (8)

Подставим в (8) значения величин и вычислим:

.

Ответ: А = 4 см.