Основы электродинамики (электростатика, постоянный ток) Основные законы и формулы

Закон Кулона
Напряжённость электрического поля
Теорема Остроградского – Гаусса
Напряжённость поля: - точечного заряда
- созданного двумя (и более) точечными зарядами
- созданного бесконечной равномерно заряженной плоскостью
- поверхностная плотность заряда
Потенциальная энергия взаимодействия точечных зарядов
Потенциал поля
Потенциал поля точечного заряда
Работа, совершаемая электрическим полем при перемещении точечного заряда q
Связь между напряжённостью и потенциалом неоднородного и однородного полей
Электроёмкость: - уединённого проводника, конденсатора	;
- плоского конденсатора
- последовательно соединённых конденсаторов
- параллельно соединённых конденсаторов	C = C1 + C2 + ... + Cn
Энергия конденсатора
Объёмная плотность энергии электрического поля
Сила постоянного тока
Плотность тока
Закон Ома для однородного участка цепи
Закон Ома для замкнутой цепи
Сопротивление однородного проводника
Ток короткого замыкания
Мощность тока	N = IU = I2R
Закон Джоуля – Ленца	Q = I2Rt

Примеры решения задач

Пример 1. На непроводящей нити в воздухе подвешен шарик массой т = 100 мг, несущий заряд q. Если снизу на расстоянии r = 4 см поместить шарик с таким же зарядом, натяжение нити Т исчезнет. Определить величину заряда шарика.

Дано: m = 100 мг = 10^-4 кг;

r = 4 см = 0,04 м.

Найти: q.

Решение: По условию задачи, шарик находится в равновесии под действием силы тяжести mg и силы кулоновского отталкивания F_к (рис. 1):

mg = F_к, (1)

Выразим в соответствии с законом Кулона силу F_к:

, (2)

где ε = 1 – диэлектрическая проницаемость воздуха, k = 9·10⁹ м/Ф – коэффициент пропорциональности в законе Кулона.

Подставив (2) в (1), получим:

(3)

Вычислим искомый заряд: .

Ответ: q = 13 нКл.

Пример 2. Два положительных заряда q₁ = 7 нКл и q₂ = 4 нКл находятся на расстоянии r = 15 см друг от друга. Определить положение точки, в которую нужно поместить заряд q₃, чтобы он находился в равновесии. Каков должен быть знак заряда q₃, чтобы равновесие было устойчивым?

Дано: q1= 7 нКл = 7·10-9 Кл; q2 = 4 нКл = 4·10-9 Кл; r = 15 см = 0,15 м. Найти: x.

Решение: Рассмотрим вопрос об устойчивости равновесия заряда q₃. Если заряд q₃ будет находиться на линии, соединяющей заряды q₁ и q₂, то, каков бы ни был знак заряда q₃, силы его взаимодействия с зарядами q₁ и q₂ будут направлены по одной прямой в противоположные стороны. Следовательно, точка находится на прямой АВ (рис. 2), в которой силы будут уравновешены.

Пусть такая точка находится между зарядами q₁ и q₂ на расстоянии х от заряда q_1. При отклонении заряда q₃ от этой точки вправо или влево возникающее неравенство сил со стороны зарядов q₁ и q₂ будет неизменно возвращать заряд q₃ в положение равновесия. Рассмотрим теперь случай отклонения заряда q₃ перпендикулярно линии АВ. В этом случае, если заряд положительный, при отклонении его вверх или вниз от положения равновесия силы отталкивания его зарядами q₁ и q₂ создадут равнодействующую, отбрасывающую заряд от линии АВ, на которой находится точка равновесия. Следовательно, при q₃>0 положение равновесия не будет устойчивым. Если заряд q₃ отрицательный, то при его отклонении вверх или вниз от положения равновесия силы притяжения его зарядами q₁ и q₂ создают равнодействующую силу, возвращающую заряд q₃ на линию АВ. В этом случае равновесие заряда устойчивое [2].

При равновесии заряда q₃ силы F₁ и F₂, действующие со стороны зарядов q₁ и q₂, равны между собой:

F₁ = F₂. (1)

Выразив F₁ и F₂ из закона Кулона, получим

, или .

Извлекая из обеих частей равенства квадратный корень, имеем

.

Откуда

. (2)

Вычислим искомое расстояние:

.

Ответ: Точка, в которую нужно поместить заряд q₃, находится на расстоянии 8,5 см от заряда q_1.

Пример 3. Два заряда q₁ = 9 нКл и q₂ = –7 нКл расположены в вершинах равностороннего треугольника со стороной a = 20 см. Определить напряжённость и потенциал электрического поля в третьей вершине треугольника.

Дано: q1 = 9 нКл = 9·10-9 Кл; q2 = –7 нКл = –7·10-9 Кл; a = 20 см = 0,2м; β = 60. Найти: Е, .

Рис. 3

Решение: По принципу суперпозиции полей напряжённость электрического поля в точке А (рис. 3) равна геометрической (т.е. векторной) суммой напряжённостей и полей, создаваемых зарядами q₁ и q₂ соответственно:

.

Модуль результирующей напряжённости найдём по теореме косинусов, как диагональ параллелограмма, построенного на векторах и

(1)

Напряжённость электрического поля точечного заряда выражается формулой

, (2)

где q – заряд, создающий поле; k – коэффициент пропорциональности в законе Кулона; r – расстояние от заряда до рассматриваемой точки поля.

Так как r = r₁ = r₂ = a , то имеем

, . (3)

Подставив (3) в (1), получим

. (4)

Вычислим напряженность поля в точке А

.

Потенциал электрического поля в точке А равен алгебраической сумме потенциалов ₁ и ₂ полей, создаваемых зарядами q₁ и q₂ соответственно:

 = ₁ + ₂. (5)

Потенциал поля точечного заряда

. (6)

В формуле (6) обозначения те же, что и в формуле (2). Подставив (6) в (5) и учитывая, что r = r₁ = r₂ = а, получим

. (7)

Подставим числовые значения величин в (7) и определим результирующий потенциал в точке А: .

Ответ: Е = 1,84 кВ/м;  = 90 B.

Пример 4. Электростатическое поле создано двумя заряженными пластинами с зарядами q₁ = 16 нКл, q₂ = –4нКл. Площади пластин S₁ = S₂ = 0,04 м², расстояние между ними d = 0,5 см. Определить напряжённость поля, между пластинами и вне их. Построить график изменения напряжённости вдоль оси, перпендикулярной пластинам, считая напряжённость положительной, если её вектор направлен слева направо. Найти разность потенциалов между пластинами U.

Дано: q1 = 16 нКл = 16·10-9Кл; q2 = - 4 нКл = - 4· 10-9 Кл; S1 = S2 =0,04м2; d = 0,5 см = 5·10-3м. Найти: ЕI; EII; EIII; U.	Рис. 4
Решение: На рис. 4а изображены заряженные пластины и силовые линии полей: сплошные – силовые линии первой пластины, пунктирные – второй пластины. Напряжённости электрических по-лей, создаваемых пластинами, которые считаем бесконечно большими равномерно заряженными плоскостями, соответственно равны: , , (1)

где ₁ и ₂ – поверхностные плотности зарядов пластин; _ = 8,8510^–12 Ф/м – электрическая постоянная.

По определению:

, . (2)

Согласно принципу суперпозиции, поля, создаваемые каждой заряженной плоскостью, накладываются друг на друга, причем каждая заряженная плоскость создает электрическое поле независимо от присутствия другой

. (3)

Плоскости делят всё пространство на три области: I, II, III. Как видно из рис. 4а, в первой и третьей областях векторы и направлены в противоположные стороны. В проекции на ось Ох напряженности полей в I и III областях соответственно равны:

, (4)

. (5)

Между пластинами силовые линии полей направлены в одну сторону, следовательно:

. (6)

Подставим числовые значения в (4), (5), и (6) и вычислим напряжённости результирующего поля вне и между пластинами:

,

, .

График распределения напряжённостей суммарного поля представлен на рис. 4б.

Напряжённость однородного электрического поля связана с разностью потенциалов между пластинами соотношением

. (6)

Откуда

. (7)

Определим значение разности потенциалов между пластинами: U = 28,3  10³  5  10^-3В = 141 В.

Ответ: E^I = –17 кВ/м; E^III = 17 кВ/м; Е^II = 28,2 кВ/м; U = 141 В.

Пример 5. Четыре одноимённых точечных заряда величиной q расположены в вершинах квадрата со стороной а. Какую работу надо совершить, чтобы поместить их в вершины тетраэдра с ребром, равным а?

Дано: q; а. Найти: А.

а) б) Рис. 5

Решение: Потенциальная энергия системы зарядов равна сумме энергий попарно взаимодействующих зарядов. Для первой конфигурации зарядов (рис. 5а) потенциальная энергия

W^I = W_1,2 + W_1,3 + W_1,4 + W_2,3 + W_2,4 +W_3,4. (1)

По условию задачи q₁ = q₂ = q₃ = q₄, поэтому

, (2)

. (3)

Следовательно,

. (4)

Для второй конфигурации (рис. 5б) потенциальная энергия взаимодействия зарядов

W^II = W_1,2 + W_1,3 + W_1,4 + W_2,3 + W_2,4 + W_3,4. (5)

Так как расстояния между вершинами в тетраэдре одинаковые и равны а, то

. (6)

Работа по перемещению зарядов из одной конфигурации в другую равна разности потенциальных энергий

. (7)

Подставив в (7) выражения (4) и (5), получим:

.

Ответ: .

Пример 6. Шарик массой m = 1 г перемещается из точки 1, потенциал которой φ₁ = 600 B, в точку 2, потенциал которой равен нулю. На сколько изменилась при этом скорость шарика, если в точке 2 его скорость возросла до ₂ = 20 см/с. Заряд шарика q = 10 нКл.

Дано: m = 10-3 кг; 2 = 20 см/с = 0,2 м/с; 1 = 600 B; 2 = 0; q = 10 нКл = 10-8 Кл. Найти: Δ = 2 - 1.

Решение: На заряженный шарик при его движении в электрическом поле со стороны поля действует сила, работа которой равна изменению кинетической энергии шарика

А = ΔW_к . (1)

Работа, совершаемая электрическим полем при перемещении заряда из точки с потенциалом ₁ в точку с потенциалом ₂:

. (2)

Изменение кинетической энергии шарика

. (3)

Следовательно, уравнение (1) можно привести к виду

, (4)

тогда

. (5)

Подставив числовые значения величин в (5) , получим

.

Изменение скорости шарика Δ = ₂ - ₁ = 0,03 м/c.

Ответ: Скорость шарика увеличилась на 0,03 м/с.

Пример 7. Плоский воздушный конденсатор, расстояние между пластинами которого d = 10 см, заряжен до разности потенциалов U₀ = 250 В и отключен от источника. Площадь его пластин S = 100 см². Определить заряд конденсатора. Во сколько раз изменятся ёмкость, разность потенциалов, энергия конденсатора, если в пространство между пластинами внести стеклянную пластинку толщиной d₂ = 8 см и прижать её к одной из пластин конденсатора?

Дано: d = 10 см = 0,1 м; U0 = 250 B; S = 100 см2 = 10-2 м2; d2 = 8 см = 0,08 м; 1 = 1; 2 = 6. Найти: q; C/C; U/U; W/W.

а) б) Рис. 6

Решение: По определению электроёмкость конденсатора равна отношению заряда конденсатора к разности потенциалов между пластинами:

. (1)

Зависимость ёмкости плоского конденсатора от его размеров выражается формулой

, (2)

где ₁ = 1 – диэлектрическая проницаемость воздуха; _ = 8,85∙10^-12 Ф/м – электрическая постоянная.

Из формул (1) и (2) находим искомый заряд

. (3)

С учётом числовых значений заряд конденсатора

.

Если параллельно обкладкам плоского конденсатора ввести слой диэлектрика, частично заполняющего воздушную прослойку, и прижать к одной из пластин, то полученную систему можно рассматривать как два соединённых последовательно конденсатора ёмкостями С₁ и С₂. Диэлектрик одного конденсатора – воздух толщиной d₁ = 0,02 м. Диэлектрик другого конденсатора – стеклянная пластинка с диэлектрической проницаемостью ₂ = 6 и толщиной d₂ = 0,08 м.

Ёмкость двух последовательно соединённых конденсаторов

. (4)

Подставляя в формулу (4) выражения и , получим:

. (5)

Из формулы (5) видно, что изменение типа диэлектрика и расстояния между пластинами конденсатора приводит к изменению его ёмкости. Разделив выражение (5) на (2) и подставив числовые значения, имеем .

Ёмкость конденсатора увеличилась в 3 раза.

Из формулы (1) находим разности потенциалов для начального и конечного состояний конденсатора , , откуда

.

Напряжение на конденсаторе уменьшается в 3 раза.

Энергия поля конденсатора в его начальном и конечном состояниях выражается формулами:

, . (6)

Отношение энергий

. (7)

Энергия конденсатора уменьшается в 3 раза.

Ответ: q = 0,2 пКл; ёмкость конденсатора увеличилась в 3 раза; напряжение на конденсаторе и его энергия уменьшились в 3 раза.

Пример 8. Три одинаковых источника тока с эдс  = 1,5 В каждый соединены параллельно и создают в цепи ток I = 1 А. Определить коэффициент полезного действия  батареи, если внутреннее сопротивление каждого источника тока r₁=r₂ =r₃= r = 0,3 Ом.

Дано:  = 1,5 В; I = 1 A; r = 0,3 Ом. Найти: .

Рис. 7

Решение: При параллельном подключении одинаковых источников тока электродвижущая сила батареи равна эдс одного источника, общее сопротивление r_б определяем по формуле

. (1)

Поскольку r₁ = r₂ = r₃ = r, формулу (1) можем записать в виде

r_б = r / 3. (2)

Батарея источников тока замыкается потребителем электроэнергии, сопротивление которого R. На основании закона Ома для замкнутой цепи

. (3)

Отсюда

, (4)

где U – разность потенциалов на зажимах батареи источников тока.

Из выражения (4) найдём

. (5)

Коэффициент полезного действия батареи

, (6)

где N₁ = IU – полезная мощность тока в потребителе; N = Iε – полная (затраченная) мощность батареи.

С учётом (2) и (5) формула (6) примет вид

(7)

Следовательно, .

Ответ: η = 93%.

Пример 9. Электродвигатель работает в сети с напряжением U = 120 В. Номинальная мощность двигателя N = l,2 кВт, коэффициент полезного действия η = 75 %. Определить силу тока, потребляемую двигателем, и сопротивление его обмоток.

Дано: U = 120 B; N = 1,2 кВт = 1,2·103 Вт;  = 75 %. Найти: I, r.

Решение: Мощность двигателя

N = IU, (1)

где I – сила тока, потребляемая двигателем.

Отсюда

. (2)

Подставим значения величин в расчётную формулу и вычислим силу тока .

Коэффициент полезного действия двигателя

, (3)

где N₁ – полезная мощность, N₂ – мощность, расходуемая на нагревание обмоток двигателя.

Мощность потерь

, (4)

где r – сопротивление обмоток.

На основании формулы (4) равенство (3) примет вид

.

Откуда

. (5)

Рассчитаем сопротивление обмотки электродвигателя .

Ответ: I = 10 A; r = 3 Ом.

Пример 10. Предохранитель изготовлен из свинцовой проволоки сечением S = 0,2 мм². Найти ток короткого замыкания, если предохранитель перегорел через 0,2 с. Начальная температура предохранителя t₀ = 27 ^оС.

Дано: S = 0,2 мм2 = 2·10-5 м2;  = 0,2 с; t = 27 C. Найти: Iкз.

Решение: По закону Джоуля-Ленца количество теплоты, выделяющееся в предохранителе за время ,

, (1)

где  = 21·10^-8 Ом·м – удельное сопротивление свинца, L – длина проволки.

Количество теплоты, необходимое для нагревания свинцового предохранителя до точки плавления,

, (2)

где с = 130 Дж/кг·^С – удельная теплоёмкость свинца; D = 11300 кг/м³ – плотность свинца; Δt – изменение температуры от t_ до температуры плавления t_пл = 327 ºC.

При перегорании предохранителя плавится очень короткий отрезок проволоки, поэтому количество теплоты, необходимое для плавления предохранителя, не учитываем.

Считая, что все количество теплоты, выделяющееся в предохранителе, идёт на его нагревание, можно написать:

Q₁ = Q₂ (3)

или, используя выражения (1) и (2), получим

откуда

(4)

Подставим числовые значения величин в (4) и вычислим ток короткого замыкания: .

Ответ: I_кз = 20 A.

Пример 11. Термопара (рис. 8) с сопротивлением r₁ = 6 Ом включена в цепь с гальванометром, сопротивление которого r₂ = 4 Ом. Чувствительность гальванометра (цена одного деления) I_ = 5∙10^-2 мкА. Какое минимальное изменение температуры позволяет определить термопара, если её постоянная k = 5∙10^-2 мВ/^С?

Дано: r1 = 6 Ом; r2 = 4 Ом; Iо = 5·10-2 мкА = 5·10-8 А; k = 5·10-2 мВ/ºС = 5·10-5 В/ºС. Найти: ∆tmin.

Рис. 8

Решение: Минимальное изменение температуры, фиксируемое данным измерительным устройством, соответствует смещению стрелки гальванометра на одно деление.

Электродвижущая сила термопары, согласно принципу её действия, пропорциональна разности температур ∆t спаев:

. (1)

Согласно закону Ома для замкнутой цепи,

. (2)

При минимальном изменении температуры ток I = I_. Из формул (1) и (2) получим

. (3)

Таким образом,

Ответ: ∆t_min = 0,01 ^С.