МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЯ
Институт информационных систем управления
Кафедра экономической кибернетики
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2 по дисциплине «Методы принятия решений» на тему «Построение многомерной функции полезности»
Выполнил студент дневной формы обучения специальности "Математические методы в экономике" - 061800 V курса 1 группы М.С.Постельник
Проверила к.э.н., доцент В.В.Борисова
Москва – 2002 год
Постановка задачи принятия решений
Инвестору требуется вложить некоторую сумму денег в ценные бумаги. Перед ним возникла задача выбора между несколькими пакетами различных акций, относящихся к высшей категории надежности, динамика курса которых в достаточной мере предсказуема и стабильна.
Формализованная постановка задачи примет следующий вид:
ЗПР:
– покупка инвестором одного из пакетов акций типа A, B или C.
Критерии выбора:
– курсовая доходность (отношение разности цены в конце периода к цене в начале периода)
Y[ 0% ; 50% ] (для инвестора предпочтительнее максимальное значение);
– дивидендная доходность (отношение процентных выплат за период к цене в начале периода)
Z[ 0% ; 20%] (для инвестора предпочтительнее максимальное значение).
Альтернативы выбора:
– приобрести пакет акций A;
– приобрести пакет акций B;
– приобрести пакет акций C.
Множество исходов:
Альтернатива №1 (пакет акций А)
-
P(Y)
0,1
0,2
0,2
0,4
0,1
Y
10%
20%
30%
40%
50%
-
P(Z)
0,3
0,4
0,2
0,1
Z
5%
10%
15%
20%
Альтернатива №2 (пакет акций В)
-
P(Y)
0,1
0,3
0,3
0,2
0,1
Y
10%
20%
30%
40%
50%
-
P(Z)
0,1
0,4
0,4
0,1
Z
5%
10%
15%
20%
Альтернатива №3 (пакет акций С)
-
P(Y)
0,3
0,3
0,2
0,1
0,1
Y
10%
20%
30%
40%
50%
-
P(Z)
0,2
0,3
0,4
0,1
Z
5%
10%
15%
20%
Проверка допущений о независимости по полезности
Предельные уровни значений показателей: Ymin = 0%, Ymax = 50%, Zmin = 0%, Zmax = 20%. Проверим допущения о независимости одного из факторов от другого. Самым слабым из упомянутых выше условий независимости является односторонняя независимость по полезности, самым сильным - аддитивная независимость.
Проверка на одностороннюю независимость по полезности
Выявим независимость фактора Y от фактора Z. Для этого проведем серию испытаний, при которых ЛПР будет предъявляться лотерея с равновероятностными исходами <( Ymin , Z ),( Ymax , Z )>. В нашем случае – лотерея с равновероятностными исходами <( 0% , Z ),( 50% , Z )>. Для такой лотереи определяется детерминированный эквивалент вида ( YD , Z ).
Испытание №1: (значение постоянного фактора Z = 1%)
|
Номер шага |
Предложенный детерминированный исход |
Сравнительная оценка детерминированного исхода и лотереи |
|
1 |
( 5% , 1% ) |
Предпочтительней лотерея |
|
2 |
( 45% , 1% ) |
Предпочтительней детерминированный исход |
|
3 |
( 10% , 1% ) |
Предпочтительней лотерея |
|
4 |
( 40% , 1% ) |
Предпочтительней детерминированный исход |
|
5 |
( 20% , 1% ) |
Предпочтительнее лотерея |
|
6 |
( 30% , 1% ) |
Все равно |
Испытание №2: (значение постоянного фактора Z = 5%)
|
Номер шага |
Предложенный детерминированный исход |
Сравнительная оценка детерминированного исхода и лотереи |
|
1 |
( 5% , 5% ) |
Предпочтительней лотерея |
|
2 |
( 45% , 5% ) |
Предпочтительней детерминированный исход |
|
3 |
( 10% , 5% ) |
Предпочтительней лотерея |
|
4 |
( 35% , 5% ) |
Предпочтительней детерминированный исход |
|
5 |
( 25% , 5% ) |
Предпочтительнее лотерея |
|
6 |
( 30% , 5% ) |
Все равно |
Испытание №3: (значение постоянного фактора Z = 10%)
|
Номер шага |
Предложенный детерминированный исход |
Сравнительная оценка детерминированного исхода и лотереи |
|
1 |
( 15% , 10% ) |
Предпочтительней лотерея |
|
2 |
( 35% , 10% ) |
Предпочтительней детерминированный исход |
|
3 |
( 20% , 10% ) |
Предпочтительней лотерея |
|
4 |
( 30% , 10% ) |
Предпочтительней детерминированный исход |
|
5 |
( 25% , 10% ) |
Предпочтительнее лотерея |
|
6 |
( 29% , 10% ) |
Все равно |
Испытание №4: (значение постоянного фактора Z = 20%)
|
Номер шага |
Предложенный детерминированный исход |
Сравнительная оценка детерминированного исхода и лотереи |
|
1 |
( 15% , 20% ) |
Предпочтительней лотерея |
|
2 |
( 35% , 20% ) |
Предпочтительней детерминированный исход |
|
3 |
( 20% , 20% ) |
Предпочтительней лотерея |
|
4 |
( 30% , 20% ) |
Предпочтительней детерминированный исход |
|
5 |
( 27.5% , 20% ) |
Предпочтительнее лотерея |
|
6 |
( 29% , 20% ) |
Все равно |
Как мы видим, в различных испытаниях значения критерия Y, при которых для ЛПР безразлично отдать предпочтение лотереи или детерминированному исходу, достаточно близки между собой, и составляют 30%. (Интервал изменения детерминированного эквивалента установлен ЛПР на уровне +5% в абсолютном выражении). Проведенный эксперимент свидетельствует о независимости Y по полезности от Z.
Проверка на взаимную независимость по полезности
Выявим независимость фактора Z от фактора Y. Для этого проведем серию испытаний, при которых ЛПР будет предъявляться лотерея с равновероятностными исходами <( Y , 0% ),( Y , 20% )> и определим детерминированный эквивалент вида ( Y , ZD ).
Испытание №1: (значение постоянного фактора Y = 1%)
|
Номер шага |
Предложенный детерминированный исход |
Сравнительная оценка детерминированного исхода и лотереи |
|
1 |
( 1% , 5% ) |
Предпочтительней лотерея |
|
2 |
( 1% , 15% ) |
Предпочтительней детерминированный исход |
|
3 |
( 1% , 10% ) |
Предпочтительней лотерея |
|
4 |
( 1% , 12% ) |
Предпочтительней лотерея |
|
5 |
( 1% , 13% ) |
Предпочтительней детерминированный исход |
|
6 |
( 1% , 12.5% ) |
Все равно |
Испытание №2: (значение постоянного фактора Z = 20%)
|
Номер шага |
Предложенный детерминированный исход |
Сравнительная оценка детерминированного исхода и лотереи |
|
1 |
( 20% , 5% ) |
Предпочтительней лотерея |
|
2 |
( 20% , 15% ) |
Предпочтительней детерминированный исход |
|
3 |
( 20% , 10% ) |
Предпочтительней лотерея |
|
4 |
( 20% , 13% ) |
Предпочтительней детерминированный исход |
|
5 |
( 20% , 11% ) |
Предпочтительнее лотерея |
|
6 |
( 20% , 12% ) |
Все равно |
Испытание №3: (значение постоянного фактора Z = 40%)
|
Номер шага |
Предложенный детерминированный исход |
Сравнительная оценка детерминированного исхода и лотереи |
|
1 |
( 40% , 5% ) |
Предпочтительней лотерея |
|
2 |
( 40% , 15% ) |
Предпочтительней детерминированный исход |
|
3 |
( 40% , 10% ) |
Предпочтительней лотерея |
|
4 |
( 40% , 13% ) |
Предпочтительней детерминированный исход |
|
5 |
( 40% , 11% ) |
Предпочтительнее лотерея |
|
6 |
( 40% , 12% ) |
Все равно |
Испытание №4: (значение постоянного фактора Y = 50%)
|
Номер шага |
Предложенный детерминированный исход |
Сравнительная оценка детерминированного исхода и лотереи |
|
1 |
( 50% , 5% ) |
Предпочтительней лотерея |
|
2 |
( 50% , 15% ) |
Предпочтительней детерминированный исход |
|
3 |
( 50% , 10% ) |
Предпочтительней лотерея |
|
4 |
( 50% , 13% ) |
Предпочтительней детерминированный исход |
|
5 |
( 50% , 11% ) |
Предпочтительнее лотерея |
|
6 |
( 50% , 11.5% ) |
Все равно |
Как видно, в различных испытаниях значения критерия Z, при которых для ЛПР безразлично отдать предпочтение лотереи или детерминированному исходу, достаточно близки между собой, и составляют 12%. (Интервал изменения детерминированного эквивалента установлен ЛПР на уровне +5% в абсолютном выражении). Проведенный эксперимент свидетельствует о независимости Z по полезности от Y.
Таким образом, имеет место взаимная независимость по полезности.
Проверка на аддитивную независимость по полезности
Два фактора Y и Z являются аддитивно независимыми, если ЛПР в состоянии указать две равноценные лотереи с равновероятными исходами следующего вида: лотерея 1 – <( Y1 , Z1 ),( Y2 , Z2 )>; лотерея 2 – <( Y1 , Z2 ),( Y2 , Z1 )>. Причем исход ( Y1 , Z1 ) не должен быть равноценен ни одному из исходов второй лотереи.
ЛПР были предложены для анализа две следующих лотереи с равновероятными исходами:
– лотерея 1: <( 40% , 10% ),( 35% , 15% )>
– лотерея 2: <( 40% , 15% ),( 35% , 10% )>
ЛПР сделал заключение о том, что лотерея 1 и лотерея 2 для него равноценны, причем исход ( 40% , 10% ) неравноценен ни исходу ( 40% , 15% ) ни исходу ( 35% , 10% ).
Таким образом, имеет место наличие аддитивной независимости по полезности.
Построение одномерных функций полезности
Однофакторная функция полезности для Y
Пределы изменения атрибута: Ymin=0% – Ymax=50%;
Отношения к риску: ЛПР склонен к риску;
Детерминированный эквивалент лотереи: YD = 30%.
Для случаев роста полезности при увеличении значения аргумента и склонности ЛПР к риску, однофакторная экспоненциальная функция полезности по Y принимает вид:
Свойства функции полезности:
Пределы изменения атрибута:
Нижний предел = 0.0000000000
Верхний предел = 50.0000000000
Предпочтительное изменение атрибута: Возрастание
Отношение к риску: Склонность
Постоянная отношения к риску: -0.1136175881
1 |
| *
| *
| *
| *
| *
| *
| *
| *
| *
| *
| *
| *
| *
| *
| *
| *
| *
| *
| *
| *
0 ------------------------------------------------------------
0.0000000000 50.0000000000
Однофакторная функция полезности для Z
Пределы изменения атрибута: Zmin=0% – Zmax=20%;
Отношения к риску: ЛПР склонен к риску;
Детерминированный эквивалент лотереи: ZD = 12%.
Для случаев роста полезности при увеличении значения аргумента и склонности ЛПР к риску, однофакторная экспоненциальная функция полезности по Z принимает вид:
Свойства функции полезности:
Пределы изменения атрибута:
Нижний предел = 0.0000000000
Верхний предел = 20.0000000000
Предпочтительное изменение атрибута: Возрастание
Отношение к риску: Склонность
Постоянная отношения к риску: -0.2840439703
1 |
| *
| *
| *
| *
| *
| *
| *
| *
| *
| *
| *
| *
| *
| *
| *
| *
| *
| *
| *
| *
0 ------------------------------------------------------------
0.0000000000 20.0000000000
Нахождение значений шкалирующих констант и построение двухфакторной функции полезности
Двухфакторная функция полезности U(Y,Z) при наличии аддитивной независимости по полезности факторов Y и Z имеет вид: U(Y,Z)=kyUy(Y)+kzUz(Z), где ky,kz>0, ky+kz=1.
Условия согласованного шкалирования будут следующими:
Uy(Ymin)=0; Uy(Ymax)=1; Uz(Zmin)=0; Uz(Zmax)=1.
Получим следующие выражения:
U(Ymin,Zmin)=kyU(Ymin)+kzU(Zmin)=0
U(Ymin,Zmax)=kyU(Ymin)+kzU(Zmax)=kz
U(Ymax,Zmin)=kyU(Ymin)+kzU(Zmin)=ky
U(Ymax,Zmax)=kyU(Ymin)+kzU(Zmin)=ky+ kz
Сравним по предпочтительности исходы (Ymax,Zmin) и (Ymin,Zmax):
( 50% , 0% ) и ( 0% , 20% )
ЛПР считает их не эквивалентными и отдает предпочтение ( 50% , 0% ),
т.е ( 50% , 0% ) ≻ ( 0% , 20% ).
Поскольку U(Ymax,Zmin)U(Ymin,Zmax), то ky>kz.
Произведем некоторые выкладки:
( 50% , 0% ) ≻ ( 0% , 20% ) ≻ ( 0% , 0% )
U(Ymax,Zmin)U(Ymin,Zmax) U(Ymin,Zmin), аналогично ky>kz>0.
Мы можем найти такое Y*, при котором будет справедливо равенство:
U(Y*,Zmin)=U(Ymin,Zmax).
Далее:
U(Y*,Zmin)=kyUy(Y*)+kzUz(Zmin ),
подставляем U(Y*,Zmin)= kz и Uz(Zmin )=0,
kz=kyUy(Y*),
1-ky=kyUy(Y*).
Шкалирующие константы находим из соотношений:
ky=1/[Uy(Y*)+1],
kz =1-ky
Для ЛПР Y*=35,
Uy(35)=0.1791065477,
ky=0.848099776,
kz =0.151900223.
Итак, с учетом значений шкалирующих констант и величин отношения к риску, многомерная функция полезности ЛПР примет вид:
Проверка согласованности построенной многофакторной функции полезности с системой предпочтения ЛПР
Для проверки согласованности представим ЛПР для установления отношения предпочтения некоторый набор исходов ( Y , Z ). Потребуем от ЛПР упорядочить предлагаемые исходы.
Система предпочтений лпр:
|
№ |
Исход |
Приоритет |
|
1 |
( 0% , 0% ) |
1 |
|
2 |
( 0% , 20% ) |
7 |
|
3 |
( 50% , 0% ) |
9 |
|
4 |
( 10% , 5% ) |
2 |
|
5 |
( 20% , 5% ) |
3 |
|
6 |
( 20% , 10% ) |
4 |
|
7 |
( 30% , 10% ) |
5 |
|
8 |
( 30% , 15% ) |
6 |
|
9 |
( 40% , 15% ) |
8 |
|
10 |
( 50% , 20% ) |
10 |
Результаты расчетов эксперта:
|
№ |
Y |
Z |
Uy(Y) |
Uz(Z) |
U(Y,Z) |
|
1 |
0% |
0% |
0,000000 |
0,000000 |
0,000000 |
|
2 |
0% |
5% |
0,000000 |
0,010739 |
0,001631 |
|
3 |
0% |
10% |
0,000000 |
0,055178 |
0,008381 |
|
4 |
0% |
15% |
0,000000 |
0,239066 |
0,036314 |
|
5 |
0% |
20% |
0,000000 |
1,000000 |
0,151900 |
|
6 |
10% |
0% |
0,007237 |
0,000000 |
0,006138 |
|
7 |
10% |
5% |
0,007237 |
0,010739 |
0,007769 |
|
8 |
10% |
10% |
0,007237 |
0,055178 |
0,014520 |
|
9 |
10% |
15% |
0,007237 |
0,239066 |
0,042452 |
|
10 |
10% |
20% |
0,007237 |
1,000000 |
0,158038 |
|
11 |
20% |
0% |
0,029781 |
0,000000 |
0,025257 |
|
12 |
20% |
5% |
0,029781 |
0,010739 |
0,026888 |
|
13 |
20% |
10% |
0,029781 |
0,055178 |
0,033639 |
|
14 |
20% |
15% |
0,029781 |
0,239066 |
0,061571 |
|
15 |
20% |
20% |
0,029781 |
1,000000 |
0,177157 |
|
16 |
30% |
0% |
0,100000 |
0,000000 |
0,084810 |
|
17 |
30% |
5% |
0,100000 |
0,010739 |
0,086441 |
|
18 |
30% |
10% |
0,100000 |
0,055178 |
0,093191 |
|
19 |
30% |
15% |
0,100000 |
0,239066 |
0,121124 |
|
20 |
30% |
20% |
0,100000 |
1,000000 |
0,236710 |
|
21 |
40% |
0% |
0,318721 |
0,000000 |
0,270307 |
|
22 |
40% |
5% |
0,318721 |
0,010739 |
0,271938 |
|
23 |
40% |
10% |
0,318721 |
0,055178 |
0,278689 |
|
24 |
40% |
15% |
0,318721 |
0,239066 |
0,306621 |
|
25 |
40% |
20% |
0,318721 |
1,000000 |
0,422207 |
|
26 |
50% |
0% |
1,000000 |
0,000000 |
0,848100 |
|
27 |
50% |
5% |
1,000000 |
0,010739 |
0,849731 |
|
28 |
50% |
10% |
1,000000 |
0,055178 |
0,856481 |
|
29 |
50% |
15% |
1,000000 |
0,239066 |
0,884414 |
|
30 |
50% |
20% |
1,000000 |
1,000000 |
1,000000 |
Система предпочтений для ЛПР будет выглядеть следующим образом:
( 0% , 0% ) ≺ ( 10% , 5% ) ≺ ( 20% , 5% ) ≺ ( 20% , 10% ) ≺ ( 30% , 10% ) ≺ ( 30% , 15% ) ≺ ( 0% , 20% ) ≺ ( 40% , 15% ) ≺ ( 50% , 0% ) ≺ ( 50% , 20% ).
Сравнение значений многомерной функции полезности ЛПР будет выглядеть следующим образом:
U(0,0)<U(10,5)<U(20,5)<U(20,10)<U(30,10)<U(30,15)<U(0,20)<U(40,15)<U(50,0)<U(50,20).
Видно, что система предпочтений предложенных альтернатив, полученная с помощью ЛПР, соответствует системе предпочтений, построенной экспертом с помощью функции полезности. То есть мнения ЛПР и значения функции полезности полностью согласованы. Данное обстоятельство свидетельствует об адекватности функции полезности.
Оценка альтернатив
Для каждой альтернативы вычислим ожидаемую полезность.