3.3 Ускорение жидкой частицы

Ускорение жидкой частицы можно представить в виде

Так как , в проекциях на оси координат имеем

(3.15)

Частные производные по времени от проекций скорости представляют собой проекции локального (местного) ускорения в точке. Они характеризуют закон изменения поля скоростей во времени. Локальное ускорение равно нулю при установившемся движении.

Суммы такого вида

называют проекциями конвективного ускорения, поскольку оно определяет ускорение частицы при изменении ее положения в поле скоростей (конвекции). Конвективное ускорение характеризует неоднородность поля скоростей в данный момент времени.

Суммы проекций локального и конвективного ускорений называются проекциями субстанционального, или полного, ускорения .

3.4. Уравнение неразрывности жидкости

Как уже отмечалось, будем рассматривать только такие движения, при которых внутри жидкости не возникают пустоты, не появляются разрывы.

Выделим в области, занятой движущейся жидкостью, неподвижный бесконечно малый параллелепипед, у которого ребра параллельны соответственно осям координат (рис. 3.7). Через выделенный параллелепипед течет жидкость Определим массу жидкости, проходящей через поверхность параллелепипеда за время.

Рис.3.7

Сначала проведем эти расчеты для направления, совпадающего с направлением оси ОХ. Масса, поступающая в выделенный параллелепипед через грань АВКЕ за время равна

.

Считаем плотность и скорость движения жидкости непрерывными и дифференцируемыми функциями координат и времени, тогда для массы, выходящей за время через граньDCGH из параллелепипеда, получим выражение

.

Приращение массы внутри параллелепипеда за счет движения жидкости вдоль оси ОХ равно разности

Определяя аналогично приращения массы в параллелепипеде за счег движения жидкости вдоль осей 0Y и 0Z, получим соответственно

Суммарное изменение массы внутри элементарного параллелепипеда за счет движения жидкости, т.е. за счет разности приносимой потоком в параллелепипед и уносимой из него массы, равно

. (3.16)

Изменение массы в неизменном объеме должно вызвать изменение плотности

Изменение массы за время , выраженное через изменение плотности, равно

. (3.17)

Приравнивая (3 16) к (3 17), после сокращений получим

(3.18)

Учитывая, что

т. e.

,

после преобразований получим

. (3.19)

Полученное уравнение выражает условие неразрывности жидкости и называется уравнением неразрывности. Для несжимаемой жидкости =const и . Поэтому для несжимаемой жидкости уравнение неразрывности приобретает вид

. (3 20)

Каждый из членов этой суммы характеризует скорость изменения длины единичного отрезка по соответствующему направлению. Сумма этих членов представляет собой скорость относительного изменения элементарного объема жидкости (объемное расширение) и называется дивергенцией, или расхождением вектора скорости:

.

Дивергенция - скалярная величина.

Уравнение неразрывности может быть записано в виде

. (3.19а)

Для несжимаемой жидкости (const) имеем

. (3 20а)

Для установившегося движения сжимаемой жидкости, когда = 0, из (3.18) получим

. (3.18a)