Глава 3

КИНЕМАТИКА ЖИДКОСТИ

3.1. Способы описания движения жидкости

Кинематика жидкости - раздел гидромеханики (механики жидкости), в котором изучаются виды и кинематические характеристики движений жидкости, но не рассматриваются силы, под действием которых происходит движение.

Жидкость представляет собой совокупность частиц, заполняющих объем без пустот и разрывов.

Жидкая частица - часть жидкости, малая по сравнению с объемом рассматриваемой жидкости, и в то же время объем частицы велик по сравнению с объемом молекулы жидкости. В частице содержится так много молекул, что жидкость в пределах частицы можно считать сплошной средой - континуумом.

Сплошная среда является моделью жидкости, используемой при рассмотрении ее покоя и движения: предположение о сплошности позволяет считать все параметры, характеризующие движущуюся жидкость, непрерывными и дифференцируемыми функциями координат и времени.

В процессе движения жидкости изменяются во времени взаимные положения жидких частиц и их форма. Положение жидкой частицы определяется координатами некоторой точки, выбранной произвольно в пределах частицы. Эта точка называется полюсом. Различные точки частицы имеют различные скорости. Под скоростью частицы понимается скорость выбранного полюса. В общем случае движение жидкости можно считать определенным, если известны законы движения всех частиц, т. е. положение каждой частицы задано как функция времени.

Существуют два способа описания движений жидкости.

1. Способ Лагранжа. В этом способе предлагается рассматривать движение каждой частицы жидкости. В начальный момент времени положение частицы определено начальными координатами ее полюса . При движении частица перемещается и координаты ее полюса изменяются. Движение жидкости определено, если для каждой частицы можно указать координаты как функции начального положения () и времени:

(3.1)

Переменные и называют переменными Лагранжа. Совокупность приведенных функций (3.1) описывает траектории движений частиц жидкости. Из уравнений (3.1) можно найти проекции на координатные оси скоростей и ускорений всех жидких частиц. Если обозначить через и вектор скорости жидкой частицы, то проекции скоростей

(3.2)

и ускорений

.

При описании движений жидкости методом Лагранжа можно пользоваться также криволинейными координатами.

Способ Лагранжа находит применение при решении ряда специальных задач, например волновых движений.

2. Способ Эйлера. В этом способе движение жидкости описывается функциями, выражающими изменения скоростей в точках некоторой неподвижной области, выбранной в пределах потока. В данный момент времени в каждой точке этой области, определяемой координатами находится частица жидкости, имеющая некоторую скорость .

Эта скорость называется мгновенной местной скоростью. Совокупность мгновенных местных скоростей представляет векторное поле, называемое полем скоростей. В общем случае поле скоростей может изменяться во времени и по координатам:

(3.4)

Рис.3.1

Переменные называют переменными Эйлера.

Векторными линиями поля скоростей являются линии тока. Линия тока - кривая, в каждой точке которой в данный момент времени вектор местной скорости направлен по касательной (рис. 3.1) (или касательная к ней совпадает с направлением скорости в этой точке).

Как следует из определения, составляющие скорости, нормальные к линии тока, в любой точке этой линии равны нулю.

Уравнение линии тока можно получить из условия совпадения направления касательной к линии тока с направлением вектора местной скорости в каждой точке. Направляющие косинусы (косинусы углов касательной к линии тока с осями координат) равны (- проекции элемента линии токана оси координат).

Косинусы углов вектора скорости с осями координат (направляющие косинусы для скорости ) равны.

На линии тока

или

Отсюда дифференциальные уравнения линий тока для данного момента времени

(3.5)

Здесь рассматривается как параметр, имеющий заданное значение. Задавая различные значенияможно определить линии тока для различных моментов времени.

Линии тока можно построить следующим образом (рис. 3.1). Пусть в области, через которую движется жидкость, в выделенной нами в некоторый момент времени точке 1 скорость равна . В точке2, расположенной бесконечно близко на отложенном из точки 1 векторе скорости , в тот же момент времени скорость равна. На векторев бесконечно близкой точке 3 в тот же момент времени скорость равна и т. п. Векторы скоростейи т. д. образуют в общем случае ломаную линию. Если провести огибающую этой ломаной, то получим линию тока.

Через точку, где скорость не обращается в нуль или бесконечность, может проходить лишь одна линия тока, т. е. линии тока не пересекаются. В точках, где скорость равна нулю или бесконечности, линии тока могут пересекаться или разветвляться. Такие точки называются особыми или критическими.

По характеру изменения поля скоростей во времени движения жидкости делятся на неустановившиеся и установившиеся.

Неустановившееся (нестационарное) движение такое, когда в точках области, где движется жидкость, местные скорости изменяются с течением времени. Такое движение описывается уравнениями (3.4).

При неустановившемся движении в общем случае линии тока соответствуют только мгновенному состоянию поля скоростей. В последующие моменты времени поле скоростей и, следовательно, линии тока могут изменяться. В связи с этим в общем случае при неустановившемся движении линии тока и траектории могут не совпадать. Но может встретиться частный случай неустановившегося движения, когда направление и форма линий тока не изменяются во времени (направления скоростей остаются неизменными, изменяются только значения скоростей в точках). В этом случае линии тока и траектории частиц жидкости совпадут.

Установившееся (стационарное) движение такое, когда в каждой точке области, где движется жидкость, местные скорости во времени не изменяются. Тогда уравнения (3.4) превращаются в следующие:

(3.6)

При установившемся движении линия тока и траектории движения частиц совпадают.

При установившемся движении уравнения линии тока принимают вид

(3.7)

Если в некоторый данный момент времени выделить в области, через которую движется жидкость, замкнутый, не пересекающий себя контур abed (рис. 3.2), ни одна из точек которого не является особой точкой потока, то через каждую точку такого контура в данный момент времени проходит единственная линия тока.

Рис. 3.2

Совокупность линий тока, проведенных через все точки этого контура, образует поверхность, которая называется трубкой тока. Жидкость, движущаяся внутри трубки тока, образует струйку. Внутри трубки тока в данный момент жидкость течет, пересекая соковых «стенок», так как скорости потока касательны к линиям тока. Если контур abcd ограничивает бесконечно малую площадку, то струйка называется элементарной. Если контур abcd ограничивает конечную площадку, то струйка называется конечной. Живым сечением струйки называется сечение, нормальное в каждой своей точке к линиям тока. Обозначим площадь живого сечения элементарной струйки через , а конечной струйки - через.

В силу малости живого сечения элементарной струйки местные скорости жидкости в его пределах можно считать одинаковыми; для конечных струек равномерность распределения скоростей в пределах живого сечения в общем случае не выполняется.

В общем случае скорости и площади живых сечений по длине струйки могут изменяться.

При установившемся движении струйки жидкости существуют физически, так как непроницаемые для потока зубки тока неизменны во времени. При неустановившемся движении в связи с изменяемостью поля скоростей во времени струйки являются только мгновенными, так как трубки тока непрерывно изменяются.

Расходом струйки называют объемное количество жидкости, проходящей через данное живое сечение в единицу времени. Размерность величины расхода [L³T^-1]. Для элементарной струйки с равномерным распределением скоростей по живому сечению получим

.

Для конечной струйки вводим понятие средней по живому сечению скорости в данном живом сечении площадью

и тогда расход можно выразить произведением средней скорости на площадь :

.

От понятия об элементарной и конечной струйках жидкости в дальнейшем переходят к понятию о потоке жидкости как совокупности струек.