6.3. Двухслойная модель турбулентного потока

Основной особенностью турбулентного режима движения является интенсивное перемешивание частиц жидкости (молей). Подчеркнем, что имеется в виду перемешивание именно молей, а не молекул жидкости. Интенсивность процесса перемешивания растет с увеличением числа Рейнольдса.

Рассмотрим поток жидкости в прямолинейной цилиндрической трубе круглого сечения (осесимметричный поток).

Исследованиями установлено, что процессы турбулентного перемешивания происходят поразному в различных частях поперечного сечения трубы. Современные представления о структуре потока в трубе при турбулентном режиие движения представим в виде приближенной двухслойной схемы (модели) (рис. 6.5).

Рис. 6.5

На твердой стенке (внутренняя поверхность трубы) скорости, в том числе и пульсационные, равны нулю. Вблизи твердой стенки находится весьма тонкий слой, толщину ее обозначим (на рис. 6.5 размернепропорционально увеличен). В этом слое преимущественное влияние имеют касательные напряжения, рассчитываемые по закону вязкого трения Ньютона (1.12). Поэтому рассматриваемый слой назван вязким подслоем потока.

В пределах вязкого подслоя скорость линейно увеличивается от нуля на стенке до некоторого значения на границе слоя.

Раньше считали, что в пределах этого тонкого слоя движение полностью ламинарное, пульсации в нем отсутствуют, и поэтому рассматриваемый слой называли ламинарной пленкой. Однако теперь установлено, что пульсации скорости, давления и касательного напряжения передаются и в вязкий подслой, так что говорить о полностью ламинарном характере движения в вязком подслое не следует.

Интенсивность пульсаций продольной скорости в нем может достигать 0,3 (это весьма большое значение для данного случая). Остальная часть поперечного сечения трубы занята турбулентным ядром потока, где и происходят интенсивные пульсации скорости и перемешивание частиц. Подчеркнем, что описанная двухслойная модель турбулентного потока - приближенная.

6.4. Уравнения рейнольдса

Как уже указывалось, турбулентное движение жидкости характеризуется хаотичным беспорядочным случайным изменением скоростей и других гидродинамических параметров. Эти изменения носят характер нерегулярных пульсаций и потому допускают осреднение и представление поля любого гидродинамического параметра в виде суммы двух полей поля осредненного параметра и поля пульсаций параметра.

Пользуясь таким представлением, запишем по (6.2) проекции действительных местных скоростей через их осредненные значения и пульсационные добавки:, так же поступим и с давлением .

При этом учтем, что осредненные во времени пульсационные составляющие местных скоростей и давление равны нулю: , так как пульсационные составляющие - знакопеременные величины с равной вероятностью как положительных, так и отрицательных их значений.

Рейнольдс предложил, выполняли осреднение, придерживаться определенных правил. Если и - осредняемые зависимые переменные,a - одна из четырех независимых переменных, то ;;;;, где повторное осреднение обозначено двумя чертами над осредняемой величиной.

Рассмотрим уравнения Навье - Стокса (5.8), сначала только первое из этих уравнений

Рассмотрим три последних члена в правой части, выражающих конвективное ускорение:

Так как для несжимаемой жидкости уравнение неразрывности имеет вид

,

то

.

Выполнив аналогичные преобразования для конвективных членов в двух других уравнениях Навье - Стокса (5.8), получим уравнения Навье - Стокса в виде

(6.3)

Выполнив операции осреднения членов уравнений, получим

При дальнейших преобразованиях учтем, что

и т.д.

Так как , то получим

и т.д.

Для осредненного установившегося турбулентного движения получаем три уравнения Рейнольдса

Уравнение неразрывности является четвертым уравнением, входящим в систему уравнений осредненного установившегося турбулентного движения вместе с уравнениями Рейнольдса.

После осреднения уравнение неразрывности имеет вид

.

Каждый из членов, содержащих пульсационные составляющие скорости, можно записать в ином виде:

.

Перепишем уравнения Рейнольдса, изменив форму записи членов с пульсационными скоростями.

(6.4)

Члены вида ,,имеют размерность напряжений. Таким образом, в левой части уравнений имеются члены как отражающие действие чисто вязкостных напряжений

,

так и содержащие напряжения, связанные с пульсациями скоростей, т. е. появляющиеся только при турбулентном режиме движения, например

.

Члены ,,представляют собой нормалкчые турбулентные напряжения на площадках, перпендикулярных соответствующим осям,a ,,- касательные турбулентные напряжения на тех же площадках.

Следует обратить внимание на знаки минус перед турбулентными напряжениями в уравнениях Рейнольдса. Касательные напряжения - положительные величины, пульсации скорости, в них входящие, разноименны. При положительном значении, например, добавка действующая на рассматриваемый элементарный объем (на частицу жидкости), будет отрицательной вследствие неизменности массы в этом объеме. Произведения(и других разноименных пульсационных составляющих скорости) - всегда отрицательные величины.

Таким образом, при турбулентном движении касательные напряжения могут быть представлены суммой вязкостных напряжений и касательных напряжений, появляющихся вследствие турбулентных пульсаций:

.

Турбулентные касательные напряжения выражаются формулой

,

при этом они подчиняются свойству взаимности: .

Полученная система является незамкнутой. Для того чтобы с помощью уравнений Рейнольдса можно было получить определенные результаты, необходимо замкнуть систему введением в нее дополнительных соотношений, устанавливающих связи между переменными, не использованные при составлении системы уравнений движения. Проблема замыканий уравнений Рейнольдса в общем виде не решена.

Обычно в качестве дополнительных соотношений используют зависимости между турбулентными касательными напряжениями и осредненными скоростями турбулентных потоков.