5.7. Уравнение бернулли

ДЛЯ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

Рассмотрим уравнения Навье-Стокса в форме Громеки для неустановившегося движения несжимаемой вязкой жидкости при условии, что массовые силы имеют потенциал

(5.25)

Умножив уравнения соответственно на на линии тока, и сложив уравнения, получим

Рассмотрим движение вдоль линии тока. В этом случае определитель равен нулю. Далее, так как ,

где - элементарный отрезок на линии тока. Здесь учтено, что.

Проинтегрировав в данный момент времени вдоль линии тока в пределах от до, получим

. (5.26)

В (5.26) учтена и работа сил вязкости , затраченная при элементарном перемещении единицы массы жидкости по линии тока.

Если из массовых сил действует только сила тяжести (const), то, относя все члены (5.26) к единице веса жидкости, найдем

,

причем

.

Здесь инерционный напор. Штрих при означает, что рассматривается элементарная струйка. Инерционный напор определяет изменения во времени удельной кинетической энергии жидкости на участке линии тока от до . Это изменение кинетической энергии обусловлено локальными ускорениями. Инерционный напор имеет линейную размерность.

Потери удельной энергии (напора) при неустановившемся движении обозначены .

При неустановившемся движении сила инерции, отнесенная к единице веса жидкости, равна

.

Учитывая, что

,

имеем для силы инерции, отнесенной к единице веса жидкости,

.

Первый член представляет собой локальную силу инерции, а второй - конвективную.

Полученное уравнение (5.27) называется уравнением Бернулли для элементарной струйки вязкой несжимаемой жидкости при неустановившемся движении.

При переходе к уравнению Бернулли для потока при неустановившемся движении вязкой несжимаемой жидкости условимся рассматривать только такие случаи неустановившегося движения, при которых форма линий тока во времени не изменяется (а значения скоростей переменны во времени). По сути дела, это потоки, ограниченные недеформируемыми стенками.

Для перехода к уравнению Бернулли для потока необходимо осреднить по живому сечению все члены полученного уравнения Бернулли для элементарной струйки (для линии тока) при неустановившемся движении. При этом инерционный напор для элементарной струйки и инерционный напор для потока отнесем к единице веса жидкости:

.

В данный момент времени в связи с принятой выше неизменностью линий тока и несжимаемостью жидкости расход по длине струйки не изменяется, т. е. не зависит от длины.

Количество движения для потока, подсчитанное по местным скоростям, равно

.

По аналогии с изложенным выше (для кинетической энергии) имеем выражение количества движения для потока, полученное при допущении, что во всех точках живого сечения скорости одинаковы и равны средней скорости:

.

Тогда коэффициент количества движения (коэффициент Буссинеска) равен

(5.28)

или , т. е.

(5.28а)

Найдем , вновь приняв (-знакопеременная величина):

или

.

Так как по вышеизложенному , то

. (5.29)

Очевидно, что коэффициент количества движения меньше, чем коэффициент кинетической энергии , на.

Запишем

,

где коэффициент количества движения (коэффициент Буссинеска); средняя скорость в живом сечении. Так как средняя скорость и расход зависят только от времени и не зависят от продольной координаты, тои. Тогда

.

Считая, что коэффициент не зависит от времени, получаем

где - расстояние между выбранными сечениями.

Поскольку распределение скоростей по живому сечению при неустановившемся движении, строго говоря, не соответствует распределению скоростей при установившемся движении со средней скоростью , выражение для инерционного напора с учетом того, что при неустановившемся движении и коэффициент количества движения изменяется во времени, примет вид

.

Без учета изменения во времени получим, что для движения в прямолинейной цилиндрической трубе (=const, а средняя скорость является функцией только времени и не изменяется по длине)

и .

Тогда средний по живому сечению инерционный напор

или

.

Уравнение Бернулли для потока несжимаемой жидкости при неустановившемся движении в прямолинейной цилиндрической трубе имеет вид

, (5.30)

где

.

Важно отметить, что инерционный напор может быть и положительным, и отрицательным. Если движение ускоренное (),то . Если движение замедленное(),то . Инерционный напор не является мерой дополнительных потерь энергии, он выражает обратимые преобразования энергии. Полученное уравнение Бернулли для неустановившегося движения можно представить графически. При этом надо помнить, что уравнение выражает соотношение между параметрами потока только. Для данного момента времени.

При ускоренном движении линия удельной энергии понижается в направлении движения. Но при замедляющемся движении () на пути от первого до второго сечения будет происходить восстановление кинетической энергии и переход ее в потенциальную. Если при этомменьше, чем, то полная удельная энергия по длине возрастает, т. е. отметки линии удельной энергии будут по длине увеличиваться. Такое положение линии удельной энергии невозможно при установившемся движении.

В практических расчетах обычно принимают потери удельной энергии при установившемся () и неустановившемся () движении равными. Такое допущение связано с недостаточным объемом исследований, посвященных гидравлическому сопротивлению неустановившегося движения жидкости, и несогласованностью (а иногда и противоречивостью) имеющихся данных о влиянии ускорений на потери удельной энергии.