5.5. Уравнение бернулли для элементарной струйки

(ДЛЯ ЛИНИИ ТОКА) ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

ПРИ УСТАНОВИВШЕМСЯ ДВИЖЕНИИ

Умножим уравнения (5 9) на проекции элементарного перемещения вдоль линии тока соответственно и просуммируем. Получим

(5.10)

Обозначим

.

Тогда представляет собой работу сил вязкости на элементарном перемещении вдоль линии тока, отнесенную к единице массы жидкости. Получим

,

так как определитель равен нулю из-за пропорциональности первой и третьей строки.

После интегрирования (для линии тока) найдем

. (5.11)

Если из массовых сил действует только сила тяжести, то (5.11) принимает вид

. (5.12)

Здесь все члены уравнения отнесены к единице массы.

Для двух точек одной и той же линии тока, относя члены уравнения к единице веса, имеем

.

Всегда . Обозначим.

Окончательно имеем уравнение Бернулли для установившегося движения вязкой несжимаемой жидкости (вдоль линии тока)

. (5.13)

Используя рассуждения, аналогичные приводящимся для невязкой жидкости, укажем, что полученное уравнение (5.13) можно рассматривать как уравнение для элементарной струйки вязкой несжимаемой жидкости при установившемся движения в поле тяжести Земли.

Здесь - потери напора (потери удельной энергии) на участке между сечениями 1-1 и 2-2.

Напомним, что как и ранее, удельной называем энергию, отнесенную к единице веса.

Затраченная на работу сил вязкости часть энергии превращается из механической в тепловую, причем этот процесс необратим. Он называется диссипацией энергии.

Из (5.13) очевидно, что представляет собой разность удельной энергии жидкости в положениях 1 и 2 на одной и той же линии тока.

5.6. Уравнение бернулли для потока

ПРИ УСТАНОВИВШЕМСЯ ПЛАВНО ИЗМЕНЯЮЩЕМСЯ

ДВИЖЕНИИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

Полученное уравнение Бернулли для струйки вязкой несжимаемой жидкости при установившемся движении (5.13) является основой, от которой перейдем к уравнению Бернулли для потока.

Сначала необходимо решить вопрос о распространении уравнения Бернулли на поток в целом. Рассмотрим отдельно удельную потенциальную и кинетическую энергии.

Удельная потенциальная энергия потока. В плавно изменяющемся установившемся потоке

.

Уравнения движения для плавно изменяющегося установившегося потока имеют вид

(5.14)

Два последних уравнения аналогичны уравнениям Эйлера для покоящейся жидкости (2.4). Отсюда можно сделать вывод, что при установившемся плавно изменяющемся движении вязкой жидкости давление по живому сечению распределяется по гидростатическому закону, т. е.

.

Теперь можем определить в уравнении Бернулли для потока удельную потенциальную энергию применительно к любой выбранной в данном живом сечении точке. Сумма для всех точек живого сечения при рассматриваемом движении будет одинаковой.

Если поле скоростей потока имеет искривленные линии тока, то частицы жидкости движутся по криволинейным траекториям, при этом нарушается гидростатический закон распределения давления в живом сечении. Если линии тока обращены выпуклостью вниз, то давление нарастает по вертикали более интенсивно, чем при гидростатическом законе. (На рис 5.2 показаны безнапорные потоки, пьезометры присоединены к дну.)

Удельная кинетическая энергия потока. Удельная кинетическая энергия массы жидкости, протекающей через живое сечение в единицу времени, вычисленная по местным скоростям потока и отнесенная к единице веса,

. (5.15)

Числитель представляет собой кинетическую энергию массы жидкости, протекающей в единицу времени через живое сечение, найденную по элементарным массам, проходящим через площадки со скоростью .

Рис.5.2

Вычисление по местным скоростям потока весьма затруднительно, так как функция для живого, сечения потока не всегда известна. Целесообразно вычислятьне по местным скоростям, а по средней скорости потока в живом сечении. При расходе и средней скорости удельная кинетическая энергия, вычисленная по средней скорости, равна

.

Обозначим отношение и через :

или

.

или

.

Коэффициент называется коэффициентом кинетической энергии, или коэффициентом Кориолиса.

Запишем местную скорость через среднюю скорость и некоторую знакопеременную добавку:

.

Получим по (5.16)

.

Далее

.

Из

следует, что .

Далее в силу знакопеременности

.

Таким образом,

(5.17)

или

.

Из (5.17) ясно, что .

Таким образом, удельная кинетическая энергия потока в данном сечении может быть определена по средней скорости в этом сечении, если известно значение коэффициента кинетической энергии

. (5.18)

В таком виде удельная кинетическая энергия входит в уравнение Бернулли для потока.

Коэффициент кинетической энергии равен отношению действительной кинетической энергии массы жидкости, протекающей через живое сечение (), к кинетической энергии , вычисленной в предположении, что во всех точках живого сечения местные скорости равны средней скорости.

Обычно при прямолинейном турбулентном движении в трубах 1,05-1,10, при таком же движении в земляных каналах1,14-1,25, при прямолинейном ламинарном движении в трубах=2. В ряде случаев турбулентного движения, происходящего в сложных условиях (например, в криволинейных потоках), коэффициентможет быть существенно большим.

Значения коэффициента определяют экспериментально. Для этого сечение разбивают на малые площадки , и измеряют скорости в центрах этих площадок. Затем, считая скорость постоянной в пределах площадок, определяют коэффициент кинетической энергии по соотношению

. (5.19)

По полученным данным затем предлагаются рекомендации о значениях для использования в расчетах.

Уравнение Бернулли для потока. Распространим на поток жидкости, ограниченный неподвижными границами (канал, река, трубопровод), уравнение Бернулли, выведенное для струйки. В сечениях, выделенных по длине потока (рис. 5.3), движение должно быть плавно изменяющимся. Тогда для любой точки данного живого сечения удельная потенциальная энергия имеет одно и то же значение. Удельная кинетическая энергия будет равна .

Рис.5.3

Тогда в сечении, например, 1-1 удельная энергия потока равна

, (5.20)

где - высота произвольно выбранной в рассматриваемом сечении точки относительно любой горизонтальной плоскости сравнения (на рис.5.3 она обозначена0—0).

Для потока вязкой жидкости сумма удельной потенциальной и удельной кинетической энергии

называется гидродинамическим напором.

Потери удельной энергии на преодоление сопротивлений движению жидкости (на преодоление трения) на пути от сечения 1—1 до рассматриваемого сечения, например 2—2 или 3—3, оцениваются величиной , т. е. частью механической энергии, необратимо переходящей в тепловую.

Уравнение Бернулли для установившегося движения вязкой несжимаемой жидкости между двумя сечениями, в которых движение является плавно изменяющимся, имеет вид

(5.21)

где и - высоты положения произвольных точек, выбранных в двух сечениях потока; и - давления в этих же точках; и- средние скорости в рассматриваемых сечениях 1—1 и 2—2; и - коэффициенты кинетической энергии (коэффициенты Кориолиса) в сечениях;- потери удельной энергии (напора) на участке между рассматриваемыми сечениями.

Рис.5.4

Подчеркнем, что движение должно удовлетворять условиям плавной изменяемости только в сечениях, к которым применяется уравнение Бернулли. На участке между сечениями движение может и не быть плавно изменяющимся.

Все члены уравнения Бернулли (5.21) имеют линейную размерность и могут быть представлены графически.

При движении вязкой жидкости линия удельной энергии (напорная линия) не горизонтальна, как при движении невязкой жидкости, а представляет собой наклонную линию, так как удельная энергия потока (гидродинамический напор) при движении вязкой жидкости уменьшается в направлении движения. Пьезометрический напор (удельная потенциальная энергия) в направлении движения может и уменьшаться, и увеличиваться в зависимости от конкретных условий. Если в напорном потоке в трубе при построении пьезометрической линии, соответствующей избыточному давлению, окажется, что на некотором участке она опустилась ниже точек оси трубы (рис. 5.4), то в потоке на этом участке давление ниже атмосферного (вакуум). Разность между ординатами рассматриваемой точки сечения и пьезометрической линии на данной вертикали соответствует

.

Гидравлическим уклоном называют отношение потерь напора к длине участка, на котором эти потери происходят. При равномерном уменьшении отметок напорной линии

. (5.22)

В общем виде

. (5.23)

Из (5.23) имеем

. (5.24)

Пьезометрический уклон по (4.23) равен

.

При равномерном движении средняя скорость по длине не изменяется. Следовательно, линия удельной энергии расположена выше пьезометрической линии на значение скоростного напора . В безнапорном потоке пьезометрическая линия совпадает со свободной поверхностью, а линия удельной энергии проходит параллельно ей и выше на . При равномерном движении в открытом русле уклон дна , пьезометрический и гидравлический уклоныравны между собой:

.