Глава 5
ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
5.1. Напряжения в движущейся вязкой жидкости
При движении вязкой жидкости в ней возникают не только нормальные, но и касательные напряжения, так как вязкая жидкость обладает способностью оказывать сопротивление относительному сдвигу своих слоев и частиц. Напомним, что при движении невязкой жидкости внутри нее могут возникать только нормальные напряжения. Нормальные и касательные напряжения в вязкой жидкости зависят не только от координат точек жидкости. В данной точке жидкости напряжения зависят от направления действия или, иначе, от ориентации в пространстве площадки, на которую они действуют.
Рис. 5.1
Рассмотрим
элементарный параллелепипед с ребрами
,
выделенный в движущейся жидкости
(рис.5.1). Обозначим напряжения на гранях,
ближайших к началу координат (АВКЕ,
AEHD,
ABCD),
Первый индекс указывает направление оси, которой перпендикулярна данная грань, т. е. направление нормали к граням, второй - направление действия напряжения, т. е. параллельно какой оси координат оно направлено.
Так, касательное
напряжение
действует на грани, перпендикулярной
осиOY,
в направлении оси ОХ;
действует на грани, перпендикулярной
осиOZ,
в направлении оси ОХ
и т. д.
Считая напряжения непрерывно изменяющимися по объему жидкости, получим значения напряжений на всех гранях параллелепипеда, пользуясь разложением функций напряжения в ряд Тейлора (табл. 5.1).
Отметим (без доказательства), что в любой точке потока вязкой жидкости касательные напряжения на взаимно перпендикулярных площадках, направленные по нормали к линии пересечения этих площадок, равны друг другу, т. е.
.
Таблица 5.1
|
Грань |
Напряжения | |
|
нормальные |
касательные | |
|
АВКЕ
DCGH
AEHD
BKGC
ABCD
EKGH |
|
|
Таким образом, напряженное состояние вязкой движущейся жидкости характеризуется шестью независимыми компонентами напряжений
5.2. Уравнения движения вязкой жидкости в напряжениях
Составим уравнения движения массы жидкости, заключенной в элементарном параллелепипеде (рис. 5.1).
Сначала рассмотрим
сумму проекций сил на направление оси
ОХ.
Эта сумма равна произведению массы
параллелепипеда
на проекцию ускорения движения его
полюса (центра). При составлении проекций
принято считать направления нормальных
напряжений совпадающими с направлениями
внешних нормалей к граням параллелепипеда.
В проекции на ось ОХ уравнение движения имеет вид
где
–
проекция суммарной массовой силы на
осьОХ.
После сокращений получим
.
Выполним аналогичные преобразования для проекций сил на направления осей OY и OZ, получим систему дифференциальных уравнений движения вязкой жидкости в напряжениях
(5.1)
Если считать заданными проекции плотности распределения массовых сил, то в уравнения движения жидкости в напряжениях (5.1) входят десять неизвестных функций:
.
Так как уравнений движения всего три, то система уравнений движения вязкой жидкости оказывается незамкнутой. Замыкание этой системы уравнений может быть осуществлено с помощью уравнения неразрывности и других соотношений, устанавливающих связи между неизвестными. Обычно эти соотношения вводятся на основе гипотез и потому обязательно должны быть подтверждены экспериментально.