2.9. Закон архимеда. Плавание тел

Рассмотрим полностью погруженное в жидкость твердое тело, объем которого , а форма такова, что любая прямая пересекает поверхность этого тела только в двух точках (рис. 2.17). Для определения силыдавления жидкости на тело воспользуемся результатами предыдущего параграфа.

Горизонтальные составляющие силы ивзаимно уравновешиваются. Вертикальная составляющая силы давленияравна весу жидкости в объеме тела.

Действительно, в данном случае имеем два тела давления: ABMNAEF, соответствующее давлению на верхнюю часть тела, и AKMFE, соответствующее давлению на нижнюю часть тела. Объем первого тела давления равен объем второго тела давления, причем.

Вертикальная составляющая равна весу жидкости в объеме, т. е., и направлена по вертикали вниз. Вертикальная составляющаяравна весу жидкости в объеме, т. е., и направлена по вертикали вверх.

Рис.2.17

Равнодействующая сила давления равна разности указанных составляющих:

или

. (2.48)

Силу называют архимедовой силой.

Так как , то.

Сила давления покоящейся жидкости на погруженное в нее тело - архимедова сила - равна весу жидкости в объеме, вытесненном телом, направлена по вертикали вверх и приложена в центре тяжести этого объема. Это и есть закон Архимеда.

Объем вытесненной телом жидкости называется объемным водоизмещением.

Центр тяжести объемного водоизмещения называется центром водоизмещения, или центром давления D (так как в этой точке приложена равнодействующая сил давления на тело).

При полном погружении тела объем равен всему объему тела, при неполном погружении. Во втором случае архимедова сила равна

.

Тело плавает, если вес тела равен архимедовой силе:

(2.49)

Если вес тела больше архимедовой силы, то тело тонет (погружается), если меньше, то оно всплывает.

Рис. 2.18

Плавание может быть подводным (тело погружено полностью) или надводным (погружена в жидкость часть тела).

Из условия плавания для однородных тел следует

или

, (2.50)

где - плотность тела;- объем всего тела;- плотность жидкости;объемное водоизмещение. При подводном плавании, откуда.

При надводном плавании осадкой плавающего тела называют глубину погружения наинизшей точки смоченной поверхности тела.

Осадку тела при надводном плавании можно найти из (2.49) и (2.50).

Линия пересечения свободной поверхности жидкости с поверхностью плавающего тела называется ватерлинией (рис. 2.18). Площадь, ограниченная ватерлинией, называется площадью ватерлинии.

Ось плавания проходит через центр тяжести тела С и центр водоизмещения D. При равновесии тела, плавающего в надводном или в подводном состоянии, ось плавания вертикальна. Если тело имеет плоскость симметрии, то ось плавания должна находиться в этой плоскости.

2.10. Условия статической остойчивости плавающего тела

Рассмотрим симметричное тело, находящееся в состоянии плавания. Ось плавания вертикальна, расположена в плоскости симметрии тела и проходит через центр тяжести площади ватерлинии. Тело занимает при плавании определенное положение. Это положение можно изменить приложением внешних сил.

Остойчивостью называется способность тела плавать в одном и том же положении, т. е. восстанавливать положение после прекращения действия внешних сил, вызвавших нарушение исходного положения тела.

Плавающие тела должны обладать статической и динамической остойчивостью (различаются по характеру действия внешних сил).

Рассмотрим статическую остойчивость плавающих тел относительно продольной оси.

Если пара сил - вес тела и архимедова сила- во время крена стремится увеличить крен, то такое положение тела является неостойчивым. Если в результате действия указанной пары сил крен уменьшается, то тело в таком положении остойчиво.

Условия остойчивости различны при подводном и надводном плавании:

1) тело плавает полностью погруженным в жидкость (подводное плавание). На рис. 2.19, а показано положение, при котором пара сил истремится увеличить крен. Происходит это потому, что центр тяжести телаС расположен выше, чем центр водоизмещения D.

Если центр тяжести тела С находится ниже центра водоизмещения D, то указанная пара сил стремится к уменьшению крена (рис. 2.19, б) и восстановлению положения тела. При таких условиях плавающее тело остойчиво.

Таким образом, условие статической остойчивости при подводном плавании формулируется так: при подводном плавании тело будет статически остойчиво, если центр тяжести С расположен на оси плавания ниже центра водоизмещения D;

Рис.2.19 Рис.2.20

2) тело плавает при частичном погружении (надводное плавание). Если гело (рис. 2.20) выведено из положения равновесия и повернулось около продольной оси на угол , то объем водоизмещения, оставаясь постоянным, изменит свою первоначальную форму. Его поперечное сечениеАВО станет равным сечению А₁В₁O. При крене центр водоизмещения (центр давления) D не остается на оси плавления (ось плавания связана с телом), а перемещается в точку D', через которую при крене проходит архимедова сила .

Точку пересечения линии действия архимедовой силы с осью плавания называют метацентром. При углах крена <15° положение точки пересечения линии действия архимедовой силы с осью плавания практически не изменяется. Можно считать, что центр водоизмещения при углах крена<15° перемещается по дуге окружности, описываемой из метацентра М радиусомкоторый называется метацентрическим радиусом.

При поперечном крене тела (дифференте) метацентр и метацентрический радиус называют поперечными.

Метацентрический радиус определяется следующим образом (если<15°):

, (2.51)

т. е. метацентрический радиус равен частному от деления центрального момента инерции площади ватерлинии относительно продольной оси на объемное водоизмещение плавающего тела. И при надводном плавании более низкое (по сравнению с центром водоизмещения D) расположение на оси плавания центра тяжести тела С обеспечивает статическую остойчивость тела (рис. 2.21,а).

Но, как будет видно, выполнение этого условия при надводном плавании не является обязательным.

Рис.22.1

При надводном плавании образование пары сил (и), стремящейся уменьшить крен, возможно и в том случае, если центр тяжести телаС расположен на оси плавания выше, чем центр водоизмещения D. Но только при этом центр тяжести тела С не должен быть расположен выше метацентра. Если центр тяжести тела С на оси плавания лежит выше метацентра, то пара сил истремится увеличить крен (рис. 2.21,б).

При надводном плавании тело остойчиво при расположении центра тяжести тела С между центром водоизмещения (точка С выше D) и метацентром М (точка С ниже М) - рис. 2.21, в.

Следовательно, для обеспечения остойчивости тела при надводном плавании необходимо, чтобы расстояние между центром водоизмещенияD и центром тяжести тела С было меньше метацентрического радиуса:

или . (2.52)

Если расстояние между метацентромМ и центром тяжести тела С, называемое метацентрической высотой, - величина положительная.

Чем больше метацентрическая высота, тем больше момент пары сил и, стремящийся к уменьшению крена (т. е. к более надежному обеспечению остойчивости).

Обычно если тело обладает остойчивостью относительно продольной оси площади ватерлинии, то его остойчивость относительно поперечной оси будет заведомо обеспечена.

У плавающих полых тел, частично заполненных жидким грузом, положение центра тяжести С при крене изменяется, и условия остойчивости таких тел будут несколько иными. Наличие жидкого содержимого уменьшает остойчивость.