2.5. Геометрическая интерпретация основного уравнения гидростатики

Ордината рассматриваемой точки жидкости отсчитывается от произвольной горизонтальной плоскостиXOY, принятой в качестве координатной. В гидравлике эту плоскость называют плоскостью сравнения, а отсчитанную от нее ординату точки - геометрической высотой точки, или высотой положения точки, или геометрическим напором в данной точке жидкости.

Величина имеет линейную размерностьL^-1MT^-2/(L^-3MLT^-2)=L и представляет собой геометрическую высоту, на которую поднимется жидкость под действием давления . Указанную высоту можно измерить, если подсоединить к сосуду трубку, из которой полностью удален воздух. Жидкость в трубке поднимется на высоту. Если трубка открыта и давление на свободной поверхности равно атмосферному, то жидкость в трубке поднимется на высоту, соответствующую избыточному давлению.

Высота соответствует давлению. Высотаназывается пьезометрической высотой. Высота, соответствующая давлениюназывается вакуумметрической высотой. Эта высота может быть измерена с помощью простейшего вакуумметра (рис. 2.8).

Рис. 2.7 Рис. 2.8

Сумму высот называют гидростатическим напором. Пьезометрический напорменьше гидростатического напора на высоту, соответствующую атмосферному давлению, т. е..

Отложив от плоскости сравнения по вертикали отрезки для различных точек покоящейся жидкости, обнаружим, что геометрическое место концов таких отрезков будет представлять собой горизонтальную плоскость, расположенную на расстоянииот плоскости сравнения. Такая плоскость называется плоскостью гидростатического напора, а если откладывать отрезкито плоскостью пьезометрического напора.

Если давление на свободной поверхности равно атмосферному, то плоскость пьезометрического напора совпадает со свободной поверхностью. При положения плоскости пьезометрического капора могут быть различными в зависимости от соотношенияили(рис. 2.7,2.8).

2.6. Равновесие жидкости в сосуде, равномерно вращающемся относительно вертикальной оси

При равновесии в движущемся сосуде жидкость движется вместе с сосудом как единое целое, т. е. находится в состоянии относительного покоя.

Рассмотрим цилиндрический сосуд радиусом (рис. 2.9), заполненный до некоторого уровня жидкостью плотностьюи приведенный во вращение с постоянной угловой скоростьюотносительно вертикальной оси. Через некоторое время после начала вращения сосуда жидкость под действием сил трения будет вращаться с той же скоростью, что и сосуд. Установится равновесие жидкости относительно сосуда или, иначе говоря, относительно вращающейся вместе с сосудом неинерциальной системы координат. При написании уравнений равновесия в неинерциальной системе необходимо в число действующих сил вводить переносную силу инерции. В рассматриваемом случае такой силой является центробежная сила, направленная вдоль радиуса и равнаядля элементарной массы, вращающейся на расстоянииот вертикальной оси. Кроме центробежной силы на любую частицудействует сила тяжести. Проекции вектора плотности распределения массовых сил при этом:

от силы тяжести

; ;;

от переносной силы инерции

; ;,

где и- горизонтальные координаты произвольно выбранной точкиA жидкости.

Рис.2.9

Рассмотрим здесь два вопроса.

Форма поверхностей равного давления. Используем уравнение поверхности равного давления (2.10)

и, подставляя в него выражения для и, найдем

.

После интегрирования получим

или, поскольку ,

. (2.23)

Из (2.23) ясно, что поверхности равного давления в рассматриваемом случае представляют собой семейство конгруэнтных параболоидов вращения с вертикальной осью. Различным значениям постоянной соответствуют разные параболоиды равного давления.

Свободная поверхность также является поверхностью равного давления, во всех точках которой давление равно внешнему давлению .

Найдем значение произвольной постоянной для параболоида свободной поверхности. Координаты вершины параболоида. Подставив эти координаты в уравнение (2.23), получим

.

Уравнение свободной поверхности

или

. (2.24)

Частица жидкости, находящейся в состоянии относительного покоя во вращающемся сосуде, расположенная на расстоянии радиуса от оси вращения, имеет линейную скорость. Высота, на которую поднята над вершиной параболоида точка свободной поверхности (например,), равна

. (2.25)

Ордината вершины параболоида свободной поверхности при заданной угловой скорости зависит от объема жидкости в сосуде. Если до вращения сосуда уровень жидкости был горизонтальным и устанавливался на высоте, то объем жидкости равнялся. При вращении сосуда свободная поверхность становится параболической, форма объема жидкости изменяется, а его значение при=const остается неизменным:

.

После интегрирования имеем

или

.

Полагая , найдем угловую скоростьи, при которой свободная поверхность жидкости коснется дна сосуда:

.

Закон распределения давлений. Используя дифференциальное уравнение равновесия жидкости (2.5) и подставляя в него проекции плотности распределения массовых сил, получаем

. (2.26)

После интегрирования уравнения (2.26) имеем

. (2.27)

Подставив в уравнение (2.27) координаты вершины параболоида свободной поверхности = 0,и давление, найдем

.

Подставив найденное значение в (2.27), получим

. (2.28)

Так как по (2.25) для любой точки, то можно переписать (2.28) в виде

или

, (2.29)

где - глубина погружения точки под свободной поверхностью, т. е. измеренное по вертикали расстояние от свободной параболической поверхности до рассматриваемой точки. Таким образом, в жидкости, покоящейся в равномерно вращающемся сосуде, давление по вертикали распределяется по гидростатическому закону.