2.2, Дифференциальные уравнения равновесия жидкости

Рассмотрим жидкость, находящуюся в покое относительно неинерциальной системы координат . Выделим в этой жидкости элементарный параллелепипед с ребрамипараллельными соответствующим осям координат (рис.2.3). Масса жидкости в параллелепипеде равна. Отбросим жидкость, окружающую параллелепипед, и заменим действием отброшенной жидкости силами. Это будут сжимающие поверхностные силы давления.

Рис.2.3

Кроме поверхностных сил на жидкость действуют массовые силы . Плотность распределения массовых сил, ее проекции на координатные оси.

Пусть давление в центре выделенного объема равно . Так как давление является непрерывной функцией координат, то, разложив эту функцию в ряд Тейлора по приращению и ограничиваясь в этом разложении двумя первыми членами, получим выражения для давления в центрах боковых гранейАВКЕ и DCGH соответственно

; .

Аналогично можно получить выражения для давления в центрах остальных граней.

Составим уравнения равновесия жидкости, заключенной в параллелепипеде. В направлении ОХ получим

,

откуда после сокращений

.

Составив аналогичные уравнения в направлении OY и OZ, получим окончательно

(2.4)

Уравнения (2.4) представляют собой систему уравнений равновесия; они были выведены Эйлером и называются уравнениями Эйлера.

Для любого направления можно получить уравнение равновесия в виде

Умножив уравнения (2.4) соответственно на и сложив их, получим уравнение

Левая часть этого уравнения представляет собой полный дифференциал функции. Заменив левую часть на, получим

(2.5)

Так как левая часть (2.5) представляет собой полный дифференциал и для однородной несжимаемой жидкости =const, то в правой части (2.5) выражение в скобках - полный дифференциал некоторой функции , т.e.

(2.6)

Следовательно, поле массовых сил потенциальное. Тогда (2.5) принимает вид

или

, (2.7)

где .

Функция выражает потенциальную энергию поля массовых сил.

Интегрируя (2.7) для несжимаемой жидкости (=const), получаем

или , (2.8)

(2.8)

где - произвольная постоянная интегрирования.

Для двух точек одного и того же объема данной однородной несжимаемой жидкости уравнение (2.8) записывается в виде

. (2.9)

2.3. Поверхности равного давления

Поверхность, во всех точках которой давление одинаково, называется поверхностью равного давления.

Обратившись к уравнению (2.5) и полагая в нем =0 при, получаем дифференциальное уравнение семейства поверхностей равного давления

(2.10)

или

= const. (2.11)

Различные значения постоянной в (2.11) соответствуют различным поверхностям равного давления.

Свободная поверхность жидкости, т.е. поверхность, граничащая с газовой средой, также является одной из поверхностей равного давления.

При равновесии жидкости массовая сила в любой точке жидкости ориентирована по нормали к поверхности равного давления, проходящей через эту точку.