14.5. Дифференциальные уравнения

НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ

ВЯЗКОЙ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В НАПОРНЫХ ТРУБОПРОВОДАХ

Рассмотрим неустановившееся напорное движение в прямолинейном трубопроводе круглого сечения (рис. 14.15).

Направим ось вдоль потока и выделим бесконечно малый элемент длиной. Составим уравнение движения этого элемента

.

Найдем сумму проекций на направление движения всех сил (массовых и поверхностных), действующих на жидкость в пределах выделенного элемента на направление движения.

Рис.14.15

Сумма проекций поверхностных сил (сил гидродинамического давления и касательных сил, приложенных по боковой поверхности стенок, при постоянствепо всему периметруравна

,

или с учетом того, что

.

Далее, приняв, как и при установившемся движении, (гипотеза квазистационарности сопротивления), найдем проекцию поверхностных сил в виде

.

Проекция силы тяжести элемента равна

.

Проекция сил инерции равна

.

Суммируя и приравнивая нулю сумму проекций сил, имеем

. (14.17)

Считая, что изменения р в связи с изменением давления по длине малы, представим (14.17) в виде

или

. (14.19)

Применим уравнение неразрывности (3.21) для элементарной струйки:

. (14.20)

Аналогично предыдущему, приняв, что изменением по длине можно пренебречь, найдем

. (14.21)

Найдем выражения для каждого члена. Имеем

. (14.22)

так как анализ показывает, что .

Далее

.

Учитывая, что по закону Гука

,

а по формуле Мариотта

,

имеем

;

.

Тогда

.

Для жидкости изменение плотности связано с изменением давления:

.

Тогда

и

. (14.24)

Подставив (14.22) - (14.24) в (14.21)

(14.25)

и сократив на , получим

.

Отсюда

. (14.26)

Поскольку

,

то

,

или

. (14.27)

Из выражения пьезометрического напора

имеем

. (14.28)

Подставив по (14.28) в (14.24), получим

, (14.29)

где для воды = 1425 м/с.

Второй член в скобках в (14.29) пренебрежимо мал. Тогда, подставив значение по (14.29) в (14.27), получим

. (14.30)

Уравнения (14.19) и (14.30) являются общими дифференциальными уравнениями неустановившегося напорного движения реальной сжимаемой жидкости в упругих трубопроводах.

Если при рассмотрении гидравлического удара пренебречь потерями на трение (=0) и членом, изменение которого несопоставимо мало [ м при м/с] при по сравнению с изменениями пьезометрического напора, то получим вместо (14.19)

. (14.31)

Уравнения (14.30) и (14.31) являются дифференциальными уравнениями изучаемого неустановившегося движения невязкой жидкости.

Определение (или) ипри заданных условиях представляет собой основную задачу при изучении гидравлического удара. Мы уже определили изменения давления, через которые можно выразить и изменения пьезометрического напора, из рассмотрения изменения количества движения при гидравлическом ударе. Формулу Жуковского дляпри мгновенном закрытии затвора можно получить и из дифференциальных уравнений. Продифференцировав (14.31) по, а (14.30) - пои приравняв смешанные производные, исключим переменную:

(14.32)

Чтобы исключить переменную , продифференцируем (14.31) по, а (14.30) -по:

. (14.33)

Уравнения (14.32) и (14.33) называются волновыми уравнениями. Их решения имеют вид

; (14.34)

. (14.35)

Функция характеризует изменения напора (давления) и скорости, распространяющиеся по направлению осисо скоростью. Функция характеризует изменения напора (давления) и скорости, распространяющиеся в направлении, противоположном направлению оси, со скоростью. Рассмотрим случай закрытия затвора в конце трубопровода, присоединенного к большому резервуару с жидкостью. Воспользуемся (14.34) и (14.35) для определения повышения давления при мгновенном ударе в первой полуфазе удара, т. е при, когда волна повышения давления еще не дошла до резервуара и волны отражения нет:=0.

В сечении у затвора , после закрытия. Тогда

.

Подставляя , получаем формулу Жуковского в виде (14.2)

или в виде (14.1)

.