Глава 8

ПОТЕРИ НАПОРА ПРИ РАВНОМЕРНОМ ДВИЖЕНИИ ЖИДКОСТИ

А. Ламинарный режим движения

8.1. Распределение местных скоростей. Расход. Средняя скорость

Цилиндрические трубы круглого сечения. Распределение местных скоростей. Рассмотрим равномерное ламинарное напорное движение в цилиндрической трубе круглого поперечного сечения радиусом (рис. 8.1).

Движение - осесимметричное. Такое движение целесообразно рассматривать в системе координат (), где осьОХ направлена вдоль оси трубы, а радиус точки в нормальном к оси сечении.

При равномерном ламинарном движении жидкости в трубе

. (8.1)

Движение можно представить как совокупность бесконечно тонких кольцевых концентрических слоев, перемещающихся относительно друг друга.

Рис. 8.1

Возникающие между слоями жидкости касательные напряжения по Ньютону

. (8.2)

С ростом (от оси к стенке трубы) скоростьи уменьшается, поэтому градиент скорости. Поскольку касательное напряжениевеличина положительная, в (8.2) вводится знак минус.

Для касательного напряжения ранее было получено соотношение (7.31)

,

где - гидравлический уклон.

Приравняв (7.31) и (8.2), получим

, (8.3)

откуда

.

Полагая, что не изменяется в пределах живого сечения, и учитывая, чтоне зависит от, получаем

.

После интегрирования

.

Находим постоянную интегрирования из условия «прилипания» жидкости к стенке. Прискорость, поэтому

.

Тогда для местной скорости в точке живого сечения, расположенной на расстоянии от оси трубы, имеем

. (8.4)

Таким образом, при ламинарном движении жидкости в цилиндрической трубе круглого сечения (напорный поток) распределение местных скоростей по радиусу имеет параболический характер (рис. 8.1). Плоская эпюра скорости - парабола.

Из (8.4) следует, что максимальная скорость имеет место на оси трубы, т. е при =0

.

Выразим местную скорость через

. (8.5)

Безразмерная местная скорость

. (8.6)

Следовательно, эпюры безразмерных местных скоростей при ламинарном движении жидкости в трубах одинаковы и их можно представить параболой (8.6).

Расход. Для определения расхода в одном из поперечных сечений трубы выделим на расстоянии от оси трубы элементарную площадку в виде кольца толщиной(рис. 8.1). Площадь кольца. Расход через площадку определится по соотношению. Расход через сечение

.

Подставив значение и из (8 5) и помня замечание о независимости от, получим

(8.7)

или

. (8.8)

Важно отметить, что при заданном расход в трубе в условиях напорного ламинарного движения пропорционален четвертой степени диаметра.

Средняя скорость. Учитывая, что , найдем выражение для средней скорости

. (8.9)

Сравнивая формулы для и, видим, что

, (8.10)

т.е. средняя скорость в сечении напорного ламинарного потока в цилиндрической трубе круглого сечения равна половине максимальной скорости.

Коэффициент кинетической энергии равен

.

Градиент местной скорости , т. е изменяется прямо пропорционально расстояниюданной точки (данного слоя) от оси трубы. Градиент.

Касательные напряжения линейно увеличиваются от нуля на оси трубы до на стенке (рис. 8.1).

Действительно, , а откуда, что совпадает с (7.31).

Открытые безнапорные ламинарные потоки. Такие потоки возникают, например, при стенании дождевых вод по склону.

Рис. 3 2

Распределение местных скоростей. Рассмотрим плоский ламинарный безнапорный поток с углом наклона дна . Выделим в потоке отсекABCD длиной , высотой, шириной, равной единице (рис. 8.2).

Направим ось ОХ вдоль потока параллельно поверхности потока и дну (при равномерном движении в открытом потоке они параллельны), ось ОZ направлена по внешней нормали к дну.

Спроектировав на ОХ все действующие на массу жидкости в отсеке ABCD силы и приравняв нулю их сумму, получим уравнение равномерного движения выделенной массы.

Проекция силы тяжести ABCD равна . Проекция силы трения по нижней поверхностиВС равна . Уравнение равномерного движения массы жидкости в выделенном отсеке

.

Но

.

Подставив в предыдущее соотношение, получим

или

.

При малых углах , где- уклон дна. Тогда

.

Проинтегрировав в пределах от 0 до , получим

.

При =0 скорость=0, следовательно, постоянная интегрирования=0, тогда для распределения скоростей в открытом потоке

. (8.11)

Таким образом, скорости распределяются по глубине рассматриваемого потока по параболе. Максимальная скорость в данном случае будет иметь место на поверхности:

.

Расход

.

Средняя скорость

.

Касательные напряжения изменяются по линейному закону от 0 у поверхности до у дна.