Потока в канале

Наиболее часто встречаются поперечные сечения каналов, показанные на рис. 6-2. Приведем ниже формулы, служащие для определения величин 𝜔,χ и R.

1°. Симметричное трапецеидальное поперечное сечение (рис. 6-2, а). Здесь b - ширина канала по дну; h — глубина наполнения канала; величина m, указанная на чертеже, — коэффициент откоса:

(6-12)

где угол ψ (см. чертеж) задают не по соображениям гидравлического расчета, а учитывая устойчивость грунта откоса (если откосы канала образуются нескаль­ным грунтом). Ширина потока поверху:

(6-13)

Величины живого сечения со и смоченного периметра χ удобно вычислять по следующимгеометрическимзависимостям:

(6-14)

(6-15)

Рис. 6-2. Примеры поперечного сечения каналов

Зная 𝜔и χ, определяем величинуR:

(6-16)

Иногда при расчете кана­лов пользуются понятием от­носительнойширины каналаподну:

(6-17)

Величины 𝜔 и χ через β выражаются следующим обра­зом:

(6-18)

(6-19)

2°. Прямоугольное поперечное сечение (рис. 6-2,6). Здесь

(6-20)

в случае весьма широкого прямоугольного русла

(6-21)

Рис. 6-3. Примеры поперечного сечения каналов

3°. Треугольное поперечное сечение (рис. 6-2, в). Здесь

(6-22)

4°. Параболическое поперечное сечение (рис. 6-2, г).Уравнение параболы, образующей смоченный периметр, имеет вид:

(6-23)

где p-параметр параболы; оси x и y указаны на рис. 6-2, г. Для такого русла ширина потока поверху В может быть найдена (для заданной глубины h) из уравнения (6-23);

(6-24)

(6-25)

5°. Прочие поперечные сечения. Отметим следующие профили:

а) несимметричный профиль (рис. 6-3, а);

б) неправильный профиль (рис. 6-3,6); в этом случае, как и в предыдущем, величины сои х приходится вычислять, разбивая поперечное сечение канала на отдельные части;

в) составной профиль (рис. 6-3, в);

г) замкнутые профили (рис. 6-3,г); здесь имеем так называемый закры- тыйканал.

§ 6-3. ГИДРАВЛИЧЕСКИ НАИВЫГОДНЕЙШИЙ ПОПЕРЕЧНЫЙ ПРОФИЛЬ ТРАПЕЦЕИДАЛЬНОГО КАНАЛА

Предположим, что нам заданы: 1) форма поперечного сечения канала — трапецеидальная; 2) коэффициент откоса канала т = т₀; 3) уклон дна каналаi = i₀;4) коэффициент шероховатостип = п₀; 5) расходQ = Q₀.

Рис. 6-4 Изменение элементов живого сечения (χ; 𝜔; υ; Q) с из­менением относительной ширины β трапецеидального канал

Положим, что, исходя из этих данных, требуется запроектировать поперечный профиль канала (т.е. найти его размеры).

Такая задача имеет много решений. Можно наметить целый ряд различных поперечных профилей канала, удовлетворяющих указанным условиям (см. рис. 6-4, а); для этого чертежа имеем

(6-26)

где индексами 1, 2 ... обозначены величины, относящиеся соответственно к 1, 2, 3-му, ... вариантам канала. На рисунке для примера показаны только три варианта; однако, рассматривая этот чертеж, надо себе представить мно­жество таких вариантов, из которых первый характеризуется весьма малой глубиной, а последний — весьма малой шириной. Необходимая пропускная способность для первого варианта обеспечивается приданием каналу весьма большой ширины, а для последнего варианта — приданием каналу весьма большой глубины.

Для рассматриваемых вариантов будем иметь:

(6-27)

Легко видеть, что первый и последний варианты будут характеризоваться относительно большой поверхностью трения, определяемой размером χ , равным b (для первого варианта) и2h (для последнего варианта); поэтому скоростьv для этих крайних вариантов должна быть относительно малой. Из сказанного вытекает, что среди ряда рассматриваемых вариантов имеется такой проме­жуточный, для которого средняя скоростьυ оказывается максимальной

(6-28)

а следовательно, площадь живого сечения 𝜔 (равнаяQ₀:υ ) — минимальной:

(6-29)

Поперечный профиль, удовлетворяющий этим условиям, и является гид­равлически наивыгоднейшим. Как видно, гидравлически наивыгоднейшим профи­лем трапецеидального канала называется профиль, который (при заданных т, i, п, Q) характеризуется максимально возможной средней скоростью v, а следо­вательно, минимальной площадью живого сечения.

Обозначим относительную ширину по дну гидравлически наивыгоднейшего профиля через β_г.н:

. (6-30)

При этом все сказанное представим кривыми χ=f₁ (β);𝜔=f₂(β) и

υ=f₃(β),показанными на рис. 6-4,бсплошными линиями (расположенными выше оси β).

Дополнительно ниже оси р на данном графике изобразим штриховыми линиями кривые χ=f₄ (β); 𝑄=f₅(β) и υ=f₆ (β), построенные в предположении, что для проектирования вариантов, показанных на рис. 6-4,а, нам задано не

Q=const, а𝜔=const; расходQ с изменением β (при заданных𝜔,т иi) — меняется. Из рассмотре­ния штриховых кривых видно, что гидравлически наивыгоднейшим профилем трапецеидального канала может быть назван также профиль, который (при заданныхт, I ,п, 𝜔) характеризуется максимально возможной пропускной способностью. .

Вертикаль I-IIна рис. 6-4,6 отвечает максимумам и минимумам соответ­ствующих функций, а следовательно, и величинеβ_г.н.Рассматривая сплошные кривые графика, расположенные выше оси β, для определения величиныβ_г.н , можем написать следующую систему двух уравнений

(6-31)

как видно, для отыскания β_гнмы здесь приравняли нулю соответствующие производные (посколькуβ_гнотвечает минимуму функций𝜔и χ ).

Подставляя в (6-31) выражения (6-18) и (6-19) и выполняя дифференциро­вание, получаем:

(6-32)

(6-33)

Решая эту систему уравнений, находим

(6-34)

Выражение (6-34) можно было бы найти и из рассмотрения кривой χ=f₄ (β), показанной на графике штриховой линией ниже оси β. При этом пришлось бы только решать совместно уравнение (6-33) и уравнение

Выше мы искали гидравлически наивыгоднейшие размеры заданной формы (трапецеидальной). Можно, разумеется, поставить здесь и иную задачу: среди всех возможных форм поперечного сечения русла искать гидравлически наивыгоднейшуюформу.Легко показать, что гидравлически наивыгод­нейшей формой живого сечения являетсяполукруг(поскольку в этом случае мы имеем минимальную величину χ, а следовательно, минимальную поверх­ность трения).

Рис. 6-5. Несовпадение минимальной площади живого сечения потока с минимальной площадью поперечного сечения земляной выемки

Стремясь получить минимальную сто­имость каналов, откапываемых в грунте, их иногда проектируют, соблюдая условие β=β_г.н , так при этом условии площадь живого сечения оказывается минимальной. Надо, однако, подчеркнуть, что в практике достаточно часто и отступают от указан­ного условия, причем проектируют каналы, принимая иные значения β(ββ_г.н). Такое положение объясняется тем, что гидрав -лически наивыгоднейшие профили далеко не всегда оказываются экономически наивыгоднейшими. Действительно, эко­номически наивыгоднейший профиль канала должен характеризоваться ми­нимумом объема земляных работ, а следовательно, для канала, выполняемого в выемке, минимальным значением площади выемки Ω =𝜔 +𝜔^', а не площади живого сечения со (рис. 6-5).

Дополнительно необходимо учитывать следующее важное обстоятельство.

Гидравлически наивыгоднейшие каналы получаются относительно глубо­кими; величина β для них оказывается сравнительно малой. Такие глубокие каналы часто затруднительно откапывать в грунте и эксплуатировать. Вместе с тем можно показать, что кривая 𝜔=f₂(β) схематично представленная на рис. 6-4,б, является весьма пологой (ее минимум, выражен весьма слабо); достаточно принять для проектируемого канала площадь.живого учения равной не𝜔_мин, а, например, 1,03𝜔_мин(т. е. увеличить𝜔_минвсего на 3 %), и мы при этом величину β получим относительно большой.

В связи со сказанным, можно ввести понятие практическинаивыгод­нейшей величины β_г.н (обозначим ее через β⁰_г.н), при которой величина𝜔будет отличаться от𝜔_минменее, чем на3—4%,причем каналы будут получатьсясравнительномалойг л у б и н ы. Величина β⁰_г.нможет иметь любое значение, лежащее в пределах:

где β⁰_г.н- такаявеличина β, при которой𝜔отличается от𝜔_минна3—4%; значение (β_г.н)_пред можно найти по формуле (предложенной нами):

§ 6-4. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ПРИ РАСЧЕТЕ ТРАПЕЦЕИДАЛЬНЫХ КАНАЛОВНА РАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ВОДЫ

Трапецеидальный канал характеризуется следующими шестьювеличи­намиb,h, т (эти три величины целикомопределяют размеры живого сечения канала),n, i, Q (илиv =Q/𝜔). Некоторые из приведенных величин бывают за­даны* теми или другими условиями проектирования. Задача гидравлического расчета обычно состоит в том, чтобы зная пять из названных величин, найти шестую. Ниже излагаются установившиеся в практикешаблонырешения такого рода вопросов, связанных с расчетом и проектированием каналов (слово «задача» здесь применяется в несколько условном смысле).

1°. Задачи, в которых живое сечение канала задано, т. е. в число заданных величин входят b, h и m. Эти задачи решаются непосредственно, без подбора искомой величины.

Задача1. Даны все размеры живого сечения (т. е. величиныb, h, m), уклон днаi и коэффициент шероховатостип. Требуется найти шестую величину — расходQ воды в канале.

Ход решения задачи:

1. Зная размеры живого сечения, находим 𝜔иχ[по зависимостям

(6-14) и (6-15)];

2. находим R =𝜔/х;

3. зная R иn, по данным § 4-13 находим С;

4. зная С и Я, определяем v:

5. зная v и𝜔, находимQ:

Задача 2. Даны все размеры живого сечения (т. е. величины b, h, т), и и Q. Требуется найти шестую величину — неизвестную i т. е. уклон дна канала, при котором канал заданного поперечного сечения и шероховатости будет про­пускать заданный расход Q.

Ход решения задачи:

1. так же, как и выше, находим величины 𝜔, χ, R, С;

2. зная 𝜔, находим v:

3. по формуле (6-6)

Рис. 6-6. К задаче 3 Рис. 6-7. К задаче 4

вычисляем i .

2°. Задачи, в которых живое сечение канала не задано, т. е. в число искомых величин входит b или h. Задачи этой группы всегда решаются путем подбора искомой величины.

Задача 3. Даны m, b, n, i, Q. Требуется найти глубину наполнечад канала h.

Ход решения задачи:

1) находим модуль расхода, которым должен характеризоваться рассчи- тываемый канал. Этот модуль будем называть необходимым и

обозначать через К_необх : очевидно,

2. составляем таблицу по форме 1, в которой задаемся рядом значений h, и для каждого h вычисляем соответствующий модуль расхода К;

3. по данным 1-й и 10-й строк таблицы строим на рис. 6-6 график K=f(h)

4) по этому графику, зная K_необх, находим искомое h, как показано на чертеже (см. h_иск).

Заметим, что кривая К = f(h) имеет выпуклость, обращенную в сторону оси h, и проходит через начало координат (так как при h = 0 значение К=0).

Задача 4. Даны т, h, n, i, Q. Требуется подобрать необходимую ширину канала по дну b.

Ход решения задачи:

1. находим необходимый модуль расхода:

Форма1

№ строки	Величина или расчетная формула	Единица измерения		Задаваемые и находимые численные значения					Примечания
1	h		м		h1	h2	h3	…
2	mh		м		…	…	…	…		m=…
3	b+mh		м		…	…	…	…		b=
4	𝜔=(b+mh)h		м2		…	…	…	…
5			м		…	…	…	…
6			м		…	…	…	…
7			м		…	…	…	…
8	C				…	…	…	…		по формуле….. при n=
9					…	…	…	…
10					…	…	…	…

Примечания.1)При построении такого родаплавныхкривых желательно (с целью экономии времени) вычислять возможно меньшее число точек; вместе с тем намечать менее четырех точек нельзя (четвертая точка должна рассматриваться как контрольная); в данном частном случае четвертой точкой может являться начало координат. Подчеркнем, что всякого рода вычисле­ния, подобные поясненным выше, всегда должны выполняться в виде таблиц (а не в «строчку»). Форма таких таблиц должна быть предварительно разработана с таким расчетом, чтобы в них помещались результатывсехарифметическихвычислений.

2) Необходимо иметь в виду, что расчеты, осуществляемые методом подбора и выполняемые, например, в табличной форме, как то пояснено выше, не включаются в пояснительные записки к проектам сооружений. Такого рода расчеты остаются в черновиках. В пояснительной же записке указывается только окончательно найденное значение и дается поверочныйрасчет.

№ строки	Величина или расчетная формула	Единица измерения		Задаваемые и находимые численные значения					Примечания
1	b		м		b1	b2	b3	…
2	b+mh		м		…	…	…	…		m=…; mh=
3	𝜔=(b+mh)h		м2		…	…	…	…		h=
4			м		…	…	…	…
5			м		…	…	…	…
6	C				…	…	…	…		по формуле….. при n=
7					…	…	…	…
8					…	…	…	…

2. составляем таблицу по форме 2, в которой задаемся рядом значений b и для каждого b вычисляем соответствующий модуль расхода К;

3. по данным 1-й и 8-й строк таблицы строим график (рис. 6-7) К =f(b);

4. по этому графику, зная К_необх , находим искомое b.

Заметим, что кривая К = f(b) не проходит через начало координат. Модуль расхода К' указанный на графике, отвечает треугольному руслу (когда b=0) .

Задача 5. Даны m, n, i, Q, β. Требуется найти b и h.

Ход решения задачи:

1. находим необходимый модуль расхода:

2) составляем таблицу по форме 1, дополняя ее одной строкой: b = βh. В этой таблице задаемся рядом значений h (в строке 1) и затем в дополнительной строке 2 вычисляем соответствующие значения b; после этого вычисляем соответствующие значения К;

3. строим график (рис. 6-6)

3. по этому графику находим искомую глубину h_иск;

4. зная h, определяем b (b=βh).

3°. Задачи, в которых среди заданных величин — средняя скорость υ. Рас­смотрим следующие задачи.

Задача 6. Даны m, b, h (т.е. задано живое сечение), п, υ. Требуется найти Q и i.

Ход решения задачи:

1. вычисляем площадь живого сечения 𝜔:

𝜔=(b+mh)h;

2. находим расход Q:

2. определяем уклон дна i :

где С и R легко могут быть найдены предварительно (см., например, задачу 1).

Задача 7. Даны: а) m, n, Q, υ; б) одна из величин: h или b. Требуется найти: а) уклон i; б) величину b или h.

Ход решения задачи:

1. вычисляем площадь живого сечения 𝜔:

2. имеем известное геометрическое уравнение

𝜔=(b+mh)h;

это уравнение содержит одно неизвестное: b или h. Решая данное уравнение, находим недостающий размер живого сечения;

3. уклон i определяем по формуле:

Задача 8. Даны т, n, Q, i , υ. Требуется найти b и h. Ход решения задачи:

1. вычисляем величину 𝜔 и модуль скорости W:

2. выписываем систему двух уравнений с двумя неизвестными

1. 𝜔=(b+mh) h = f₁(b, h);

2. 

Эта система двух уравнений может быть переписана в виде

(I')

(II')

где А и В — известные числа;

3) искомые величины находим, решая указанную систему уравнений с не­известными b и h (путем подбора или графически).

6-5. ОГМНИЧШЙЁ СКОРОСТЕЙ ДВИЖЕНИЯ ВОДЫ