§ 3-3. Дифференциальные уравнения движения идеальной (невязкой) жидкости (уравнения Эйлера)

Ранее были получены дифференциальные уравнения покоя жидкости (см. § 2-3), которые были отнесены к единице массы жидкости. Дифферен­циальные уравнения движения идеальной жидкости можно получить из указанных уравнений покоя, если согласно началу Даламбера ввести в эти уравнения силу инерции, отнесенную к единице массы движущейся жидкости. Обозначим силу инерции, действующую на единицу массы, через I; про­екции этой силы на оси координат — через I_x, I_y , I_z . При этом можем напи­сать

(3-5)

где проекции ускорений на соответствующие оси координат.

Сила инерции направлена в сторону, противоположную ускорению; поэтому в соотношения (3-5) входит знак минус. Вводя в уравнение (2-13)-третье слагаемое в виде (pdxdydz) I_x, представляющее собой проекцию на ось Ох сил инерции жидкого параллелепипеда (см. рис. 2-5), получаем 1-е уравнение; остальные пишем по аналогии. В результате вместо (2-14) имеем следующие дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости (отнесенные к единице массы):

(3-6)

Эти уравнения называются уравнениями Эйлера, или урав­нениями движения, или уравнениями динамического равновесия.

Надо заметить, что переходя от идеальной жидкости к реальной (вязкой) жидкости, в уравнение (3-6) приходится вводить дополнительное слагаемое, учитывающее величину сил трения, отнесенных к единице массы жидкости. Такая операция приводит нас к системе трех уравнений, называемых уравнениями Навье—Стокса (эти уравнения здесь мы не приводим)..

Учитывая (3-1), можем написать:

(3-7)

имея же в виду (3-4), получаем следующие выражения для проекций ускоре­ния, входящих в правые части (3-6) [первое выражение вытекает из (3-7); остальные пишем по аналогии:

(3-8)

В правые части уравнений (3-8) входит девять частных производных проекций скорости(и_х, и_у, u_z) по координатам (х, у, z). Три из этих девяти производных

называются прямыми или продоль­ными; каждая из них взята по координате, отмеряемой вдоль той оси, на которую про­ектируется скорость. Остальные шесть частных производных называются косыми или поперечными; каждая из них берется по координате, отмеряемой поперек оси, на которую проектируется скорость.

С прямыми (продольными) производными нам придется столкнуться при выводе уравне­ния несжимаемости жидкости (см. §3-10). Здесь остановимся на пояснении физического смысла шести косых (поперечных) производных.

Физический смысл косых (поперечных) частных производных от про­екций скорости (и_х, и_у, и_z) по координатам (х, у, z). Рассмотрим для при­мера одну из шести производных, именно величину .

Рис. 3-3. Вращение отрезка ab

С прямыми (продольными) производными нам придется столкнуться при выводе уравне­ния несжимаемости жидкости (см. §3-10). Здесь остановимся на пояснении физического смысла шести косых (поперечных) производных.

Физический смысл косых (поперечных) частных производных от про­екций скорости (и_х, и_у, и_z) по координатам (х, у, z). Рассмотрим для при­мера одну из шести производных, именно величину .

Возьмем на оси х (рис. 3-3) отрезок ab, соединяющий две частицы жидко­сти (а и 6) и имеющий бесконечно малую длину dx. Этот отрезок при движении вдоль оси 2 переместится за время dt в положение a'b', причем отрезок aa' будет представлять собой путь, пройденный в направлении оси z частицей а:

(3-9)

отрезок же bb' — путь, пройденный в направлении оси z частицей b:

(3-10)

здесь u_z — скорость движения частицы а вдоль оси z; u’_z — скорость движения частицы b вдоль той же оси z:

(3-11)

Так как в общем случае то, как видно из рис. 3-3, отрезокab за время dt совершает не только поступательное движение вдоль оси z, но еще и поворачивается относительно оси у на некоторый угол da.

Найдем угловую скорость вращения отрезка ab относительно оси у. Очевидно,

(3-12)

Так как угол da мал, то тангенс этого угла можно заменить самим углом; при этом вместо (3-12) получаем:

(3-13)

или

(3-14)

Из этого соотношения видно, что рассматриваемая частная производная дает нам угловую скорость вращения бесконечно малого отрезка ab относительно оси у.

Исследуя точно так же остальные пять производных, легко убедиться, что все они представляют собой соответствующие угловые скорости вращения бесконечно малого отрезка ab (относительно осей х, y и z). Таков физический смысл рассматриваемых шести частных производных:

(3-15)

Ясно, что первые две производные дают угловые скорости вращения в плоскости ух (относительно оси z); вторые две производные — угловые скорости в плоскости yz (относительно оси х); третьи две производные — угло­вые скорости в плоскости xz (относительно оси у).