Вторая часть индивидуального задания

Статистические данные о времени обслуживания ста документов в организации приводится в таблице 3.

Таблица 3

13	10	16	11	6	8	8	10	8	11
17	9	6	7	8	13	19	9	16	6
12	13	8	10	13	5	13	12	12	7
5	11	8	12	8	13	10	12	21	7
20	9	7	12	6	12	12	10	14	11
21	26	22	17	24	22	18	17	23	17
16	20	13	11	10	13	10	13	8	14
27	10	20	20	19	14	11	27	23	16
10	7	9	19	12	13	15	11	18	23
8	9	11	23	29	17	22	17	18	11

1. Выдвигаем нулевую гипотезу (Но) нормальном законе распределения статистических данных, характеризующих время обработки документов в организации:

где:

m и δ – параметры нормального распределения;

m_x – математическое ожидание, час;

δ – среднеквадратическое отклонение, час;

2. Весь интервал наблюдаемых значений (выборка объёмом n = 100) делится на интервалы группировки и определяется их количество:

k =

где:

k – количество интервалов группировки

x_max – максимальное значение времени обслуживания документа;

x_min – минимальное значение времени обслуживания документа;

3. Находим середины интервалов группировки:

4. Определяем частоту попадания значений случайной величины в i-тый разряд (эмпирическая частота – m_i). Результаты представляем в виде таблицы 4.

Таблица 4

Номер интервала	Границы интервала		Cередина интервала	частота
i	Xi	Xi+1	Xi*	mi	Pi*
1	5	13	9	52	0,52
2	13	21	17	34	0,34
3	21	29	25	14	0,14

5. Определяем параметры выбранного закона распределения. Подберём параметры так, чтобы сохранить два момента (математическое ожидание и дисперсию) статистического распределения. Выборочное среднее m_x^* и выборочное среднее квадратическое δ значения определяем следующим образом (используя таблицу 4):

4,68

5,78

3,5

Получаем, что m_x^* = 4,68+5,78+3,5=13,96

Для определения дисперсии вычислим сначала второй начальный момент:

α₂^* =

Пользуясь выражением дисперсии через второй начальный момент получим:

D_x^* = α₂^* - (m_x^*)²

Выберем параметры нормального закона так, чтобы m= m_x^* и (δ_x*)² = D_x^*, то есть

δ =

Получаем в результате вычислений:

	α2* =
81	42,12
289	98,26
625	87,5
Сумма:	227,88

m_x^* = 13,96

α₂^* = 227,88

D_x^* = 227,88 – (13,96)² = 32,9984

δ = = 5,74

6. Нормируем случайную величину X

Переходим к величине Z = (X – m_x^*)/δ^* и вычисляем концы интервалов (Z_i; Z_i+1):

Z_i = (x_i – m_i^*) / δ^*;

Z_i+1 = (x_i+1 - m_i^*) / δ^*;

Причем для наименьшего значения Z, т.е. Z₁ используют режим -, а для наибольшего, т.е.Z₅ используют режим +.

Результаты расчетов представляем в виде таблицы 5.

Таблица 5

Номер интервала	Границы интервала			Xi+1 – mx*		Xi – mx*		Границы интервала
	Xi	Xi+1	Zi = (xi – mi*) / δ*					Zi+1 = (xi+1 - mi*) / δ*
1	5	13			-0,96		-		-0,17
2	13	21	-0,96		7,04		-0,17		1,23
3	21	29	7,04				1,23

7. Вычисляем теоретические вероятности Р_i попадания Х в интервалы (x_i; x_i+1) по равенству:

Р_i = Ф (Z_i+1) – Ф(Z_i)

где:

Ф(Z) – функция Лапласа.

И находим искомые теоретические частоты n_i ; = np_i

Для расчета теоретических вероятностей Р_i и теоретических частот n_i ; = np_i составляем таблицу 6.

Таблица 6

Номер интервала	Границы интервала		Ф(Zi)	Ф(Zi+1)	Рi = Ф (Zi+1) – Ф(Zi)	ni = npi = 100 pi
	Zi	Zi+1
1	-	-0,17	-0,5	-0,0675	0,4325	43,25
2	-0,17	1,23	-0,0675	0,3907	0,4582	45,82
3	1,23		0,3907	0,5	0,1093	10,93

8. Проверяем гипотезу о нормальном распределении статистических данных при уровне значимости α = 0,05.

Вычисляем Х²_набл результаты представляем в виде таблицы 7:

Таблица 7

Эмпирические частоты	52	34	14
Теоретические частоты	43,25	45,82	10,93
	1,770	3,049	0,862

Х²_набл =

Х²_набл = 1,770 + 3,049 + 0,862 = 5,68

По таблице критических точек распределения Х² при выбранном уровне значимости α = 0,05 и числе степеней свободы r = 3-1 = 2 находим Х²_кр (0,05 ; 2) = 6

Сравниваем Х²_набл и Х²_кр (α;r), так как 5,68 < 6, т.е Х²_набл < Х²_кр , то нет оснований отвергать гипотезу H₀. Другими словами расхождение эмпирических и теоретических частот незначительное. Следовательно, данные наблюдений согласуются с гипотезой о нормальном распределении статистических данных.

9. Также необходимо рассчитать коэффициенты асимметрии и эксцесса и построить график.

Асимметричность (коэффициент асимметрии или скоса – s) характеризует смещение распределения относительно математического ожидания. При положительном значении коэффициента распределение скошено вправо, т.е. более длинная часть лежит правее центра (математического ожидания) и обратно. Для нормального распределения коэффициент асимметрии равен 0. На практике, его малыми значениями можно пренебречь.

Коэффициент асимметрии в теории вероятностей – величина, характеризующая асимметрию распределения данной случайной величины.

Определение. Пусть задана случайная величина Х, такая что Е|X|³ < . Пусть μ3 обозначает третий центральный момент μ3 =E[(X – EX)³], а δ = - стандартное отклонение Х. Тогда коэффициент асимметрии задаётся формулой:

К _{асимметрии} = μ3 / δ³

Неформально говоря, коэффициент асимметрии положителен, если правый хвост распределения длиннее левого, и отрицателен в противном случае. Если распределение симметрично относительно математического ожидания, то его коэффициент асимметрии равен нулю.

В нашем случае получаем следующие данные:

mx*	μ3	δ	δ3	Касимметрии
13,96	2720,55	5,74	189,12	14,4

Коэффициент асимметрии положителен, значит, более длинная часть лежит правее центра.

Эксцесс характеризуется остроконечностью (положительное значение) или пологость (отрицательное значение) распределения по сравнению с нормальной кривой. Теоретически, эксцесс нормального распределения должен быть равен 0. Однако на практике для генеральных совокупностей больших объёмов его малыми значениями можно пренебречь.

Коэффициент эксцесса (коэффициент островершинности) в теории вероятностей – мера остроты пика распределения случайной величины.

Определение. Пусть задана случайная величина Х, такая что E|X|⁴ <. Пусть μ4 обозначает четвёртый центральный момент:

μ4 = E[(X – EX)⁴], а δ = - стандартное отклонение Х. Тогда коэффициент эксцесса задаётся формулой:

К _{эксцесса} = ( μ4 / δ⁴ ) – 3

Замечание: «-3» в конце формулы введено для того, чтобы коэффициент эксцесса нормального распределения был равен нулю. Он положителен, если пик распределения около математического ожидания острый и отрицателен, если пик гладкий.

Свойства коэффициента эксцесса.

1. К _{эксцесса} [-2;)

2. Пусть Х₁ ….. Х_n – независимые случайные величины с равной дисперсией. Пусть Υ = . Тогда

3. К _{эксцесса} Υ = 1/n² , где К_{эксцесса} Υ, К _{эксцесса} i – коэффициенты эксцесса соответствующих случайных величин.

В нашем случае получаем следующие данные:

mx*	μ4	δ	δ4	К эксцесса
13,96	37978,8	5,74	1085,54	35,0

Коэффициент эксцесса положителен, значит, пик распределения около математического ожидания острый.

Необходимо также построить график и диаграмму, которые наглядно показывают расхождение значений m_i и n_i^* : и иллюстрируют значения коэффициентов асимметрии и эксцесса.

Рисунок 1

График расхождения эмпирических и теоретических частот

Рисунок 2

Диаграмма расхождения эмпирических и теоретических частот