Лаб.Работа №4. Аппроксимация профиля ортогональными полиномами Чебышева
Аппроксимировать строку регулярной ЦМВ рельефа из 21 точки полиномами Чебышева 1- 3 степени; оценить качество аппроксимации по критерию Фишера; построить профиль по измеренным и вычисленным значениям y; дать выводы о качестве аппроксимации, учтя, что точность съемки рельефа 0.4м. Схематически разбить участок на части и указать степени полиномов, обеспечивающих аппроксимацию по частям. (Программа для вычислений файл Excel, туда подставить свои данные.)
Формулы вычисления частных полиномов для счетного x, кое принимает возрастающие на единицу целые значения от 0 до n:
,
в
общем виде
.
2 Суммы квадратов можно вычислить так
,
,
,
,
.,
-
Искомые коэффициенты a при частных полиномах находим из нормальных уравнений
.
4. Находим искомый полином p(X) (1.2 и 3 степени), как сумму ортогональных частных полиномов Pj :
как
сумму частных полиномов P0,P1,..Pk
5.
После определения подходящей степени
k полинома приводим в нем подобные члены
и получаем искомый степенной полином
.
Таким образом, мы можем поднимать на единицу последовательно шаг за шагом степень полинома, причем все предыдущие слагаемые не изменяются. На какой степени полинома следует остановиться?
6. Для ограничения степени полинома применим критерий Фишера: если полином j-й степени существенно уменьшит дисперсию уклонений y от полиномиальных значений y в сравнении с j-1 степенью, т.е. F=Sj2/Sj-12 , превосходит значение F, найденное по распределению Фишера, то приближение таким полиномом достаточно. Сравните дисперсии с дисперсией измерения высот на приборе: (S2j =(0.4m)2. Если не достигается, то дайте выводы о дальнейших действиях.
Дисперсии
можно определять без вычисления разностей
y-y ср
непосредственно
по найденным значениям коэффициентов
и частным полиномам: в
общем
виде
,
а
конкретно:
,
(7.29)
.
На практике ограничиваются построением полиномов 3-5 степени. При нерегулярных поверхностях, а именно такие в топографии, описание ее плоского сечения полиномом высокой степени не дает удовлетворительного приближения. Возникают сцинтилляции: несуществующие реально "волны": в точках измерений отклонения кривой, построенной по полиному, от измеренных значений будут малы, а при отсутствии избыточных измерений - равны нулю. Но между этими точками на кривой возникнут ложные максимумы и минимумы. Особая сложность возникает тогда, когда функция многозначна.