Глава 1.
Численные методы в теории приближений.
Лекция 1.
1.1 Структура погрешности в численном анализе.
Основные источники погрешностей:
-
Погрешности математической модели.
Любая задача есть модель какого-то явления. Всякая модель – это объект более простой, чем реальный. Модель – приближенное описание реального объекта, т.е. содержит погрешности.
-
Погрешности исходных данных.
Данные могут оказаться неточными.
-
Погрешности метода решения.
Численные методы заменяют задачу на близкую. Например, вместо интегрирования – суммирование, вместо дифференцирования – вычисление конечно разностного отношения и т.д. В результате вместо точного решения исходной задачи получаем приближенное решение преобразованной задачи.
-
Погрешности округлений при выполнении арифметических операций.
В рамках численных методов погрешности 1 и 2 считаются неустранимыми.
Рассмотрим подробнее пункт 4.
Пусть
- приближенное представление числа X,
т.е.
,
где
- погрешность.
Определение 1.
Величина
называется абсолютной
погрешностью
представления числа X
с помощью числа
.
Максимально
возможное значение
,
т.е. число
,
удовлетворяющее неравенству
,
называется максимальной,
или предельной,
абсолютной
погрешностью
(ошибкой).
Определение 2.
Величина,
равная
,
называется относительной
ошибкой
представления числа X
числом
.
Если
,
то число
называется максимальной
предельной относительной ошибкой.
Округление.
Обычно при вычислении с плавающей запятой число X представляется в нормализованном виде.
,
где f - мантисса числа X,
,
а
- основание системы счисления (а=2,8,10
и т.д.), L
– порядок числа,
.
Кроме того,
,
-
цифра в k-ом разряде дробного числа,
.
t – порядок числа - число используемых значащих цифр (характеристика вычислительного устройства).
Определение 3.
Пусть число X записано в позиционной системе счисления. Значащими называются все цифры, начиная от первой слева не равной 0.
Если число значащих цифр в представлении X превосходит t, то происходит округление.
Ошибки округления распространяются дальше при выполнении арифметических операций.
Рассмотрим некоторые примеры.
Пример 1.
Абсолютная погрешность суммы.
Пусть
,
.
Тогда
,
где
.
Т.к.
,
то
,
т.е. предельные абсолютные ошибки
складываются.
Пример 2.
То же самое для разности. Предельные максимальные абсолютные погрешности аналогично складываются.
Пример 3.
Относительные погрешности произведения.
,
где
,
,
где
.
Считаем, что последнее слагаемое имеет второй порядок малости по сравнению с первыми двумя, и им пренебрегаем.
,
,
тогда получаем
,
т.е.
.
При умножении относительные максимальные ошибки приближенно складываются.
Пример 4.
Деление.
При делении относительные максимальные ошибки также складываются.
Погрешность вычисления функции при неточном задании аргументов.
(Вопрос вычисления функции при наличии ошибки в вычислении ее аргумента)
Рассмотрим для определенности функцию двух переменных f(x,y), дифференцируемую в области G.
Необходимо
вычислить значение
,
где точка
.
Пусть
,
.
По
формуле конечных приращений Лагранжа
для
,
имеем
,
где
- некоторая точка замкнутого прямоугольника
,
.
Отсюда можно получить
.
Если получены оценки:
,
,
где
,
то максимальная абсолютная ошибка вычисления функции:
.
1.2. Понятие близости в метрическом пространстве.
Определение 1.
Множество
X
элементов произвольной природы (не
обязательно числовое множество)
называется метрическим
пространством,
если любой паре элементов
поставлено в соответствие число
,
(метрика, или расстояние) в соответствии
с аксиомами:
А1.
тогда и только тогда, когда x=y.
А2.
.
А3.
– неравенство треугольника.
Определение 2.
Говорят,
что последовательность элементов
метрического пространства X
сходится к элементу
,
если
.
Определение 3.
Последовательность
элементов метрического пространства
X
называется фундаментальной,
если
.
Определение 4.
Метрическое
пространство X
называется полным,
если любая фундаментальная последовательность
его элементов сходится к некоторому
элементу этого пространства.
Замечания.
-
Не любое метрическое пространство является полным.
Например,
множество всех рациональных чисел с
метрикой
не является полным, т.к., скажем,
последовательность
- фундаментальная, но
- иррациональное число.
-
Сходимость большинства итерационных процессов удается доказать только в полном метрическом пространстве, следовательно, полнота играет важную роль в числовом анализе.
Определение 5.
Множество X называется нормированным линейным пространством, если
-
оно является линейным пространством, т.е. в нем определены операции сложения элементов и умножения элемента на число с известными свойствами.
-
любому элементу
поставлено в соответствие число
(норма x),
удовлетворяющее аксиомам:
А1.
,
А2.
А3.
–
неравенство треугольника.
Замечание.
Любое нормированное линейное пространство X можно считать метрическим, введя метрику по формуле
. (1)
Если
последовательность
нормированного пространства X
сходится в смысле метрики (1), то говорят
о сходимости по норме пространства X.
Нетрудно убедиться, что для метрики (1) выполняются все аксиомы метрики.
Приведем некоторые примеры классов функций и соответствующих линейных пространств.
Примеры классов функций и соответствующих нормированных пространств.
Пример 1.
Множество
всех функций, заданных на отрезке [a,
b] и имеющих
на нем непрерывные производные до k
-го порядка включительно, называется
классом
.
Пример 2.
При
k=0
получаем класс
- множество непрерывных на отрезке [a,
b] функций.
Если
на
ввести норму по формуле
, (2)
то
получим линейное нормированное
пространство C[a,b]
(операции сложения и умножения на число
вводятся обычным образом f+g=f(x)+g(x),
).
Аксиомы А1, А2 – очевидно, выполняются.
В справедливости А3 нетрудно также убедиться с помощью свойств модуля и теоремы Вейерштрасса.
Замечания.
-
Норму в классе
можно ввести не единственным образом.
Например,
. (3)
-
Сходимость последовательности
по норме (2) – это равномерная сходимость,
т.е. последовательность
сходится к f
- это то же самое, что
-
это равномерная сходимость.
Пространство C[a,b] с нормой (2) является полным в силу теоремы мат. анализа: равномерно сходящаяся последовательность в замкнутой области сходится к непрерывной функции.
Пример 3.
Множество
всех функций, p-я
степень модуля которых интегрируема
на отрезке [a,
b], называется
линейным нормированным пространством
,
если на нем введена норма по формуле
. (4)
Сходимость по норме (4) называется сходимостью в среднем (при p=2 - среднеквадратичная сходимость).
Замечание.
Пусть
,
тогда
.
,
.
Отсюда
следует, что из сходимости последовательности
по норме C
следует ее сходимость по норме
,
но не наоборот. 