Решение задачи с помощью неявной разностной схемы

В неявной схеме для получения решения на последующем слое необходимо решать систему алгебраических уравнений специального вида. Преимущество использования неявных схем заключается в существенном ослаблении требований к шагам сетки для выполнения условия устойчивости.

Рассмотрим снова нашу краевую задачу. Для аппроксимации уравнения используем следующий шаблон:

(i-1 , j+1)

(i , j+1)

(i-1 ,j+1)

( i , j)

Аппроксимация дифференциального уравнения

(4)

Приведем (4) к виду, удобному для применения метода прогонки:

(5)

Аппроксимация начального условия

(6)

Аппроксимация 1-го граничного условия

Граничное условие второго рода выглядит следующим образом:(в нашем случае ). Для его аппроксимирования разложимU(x,y) в окрестности точки (0,у) в ряд Тейлора:

Используя исходное уравнение и граничное условие, получим:

Перейдем к конечным разностям, записываемым в узле (1,j), т.е. на первом слое:

отсюда

(7)

Аппроксимация 2-го граничного условия

Граничное условие второго рода выглядит следующим образом:. Для его аппроксимирования разложим U(x,y) в окрестности точки (1,у) в ряд Тейлора:

Используя исходное уравнение и граничное условие, получим:

Перейдем к конечным разностям, записываемым в узле (М-1,j), т.е. на предпоследнем слое:

отсюда

(8)

Таким образом, построена неявная разностная схема аппроксимирующая краевую задачу с погрешностью аппроксимации порядка . Полученная система линейных алгебраических уравнений (5)-(8) описывается трехдиагональной матрицей:

и в общем случае имеет вид:

где (9)

Для решения таких систем применяется метод прогонки.

Вычисления прогоночных коэффициентов

Из (7) имеем:

Из (8) получаем:

На основе (5) можно записать:

Алгоритм решения системы (9) состоит из двух этапов: прямого и обратного хода прогонки. Обозначим , тогда из первого уравнения системы следует:

Подставим во второе уравнение системы (9) приi=1 и выразим :

Продолжая подстановку далее, получим на к-ом шаге уравнение

, к =1,2,…М-1 (10)

где и; (11)

причём (12)

Формулы (11) определяют прямой ход прогонки, в результате которого рекуррентно вычисляются прогоночные коэффициенты и. Далее по известному коэффициентуиз (12) определяютсяи, а затем по формуле (10) находятся остальные. Это обратный ход прогонки.

Устойчивость и корректность метода прогонки обеспечивается при условии выполнения следующей теоремы:

если коэффициенты системы уравнений метода прогонки удовлетворяют следующие условия

причем хотя бы одно из неравенств {1} или {2} является строгим, тогда для метода прогонки имеют место неравенства:

которые гарантируют корректность и устойчивость метода прогонки. Выполнение этих условий проверяется в процессе работы программы.

Приложение 1.

(для разбиения М=100 и N=20000)

Поверхности.

Явная схема.

Неявная схема.

Изолинии.

Явная схема.

Неявная схема.

Зависимость от при фиксированных .

Явная схема.

Неявная схема.

Сравнение явной и неявной схем.

Матрицы результатов.

Явная схема.

0 1.8795 3.6390 5.2674 6.7204 7.9489 8.9089 9.5666 9.9009 9.9051 9.5863

0 1.9210 3.7248 5.3957 6.8887 8.1548 9.1505 9.8426 10.2106 10.2484 9.9641

0 1.9486 3.7853 5.4838 6.9974 8.2772 9.2809 9.9771 10.3476 10.3882 10.1090

0 1.9658 3.8248 5.5370 7.0529 8.3243 9.3111 9.9847 10.3304 10.3477 10.0501

0 1.9757 3.8472 5.5604 7.0626 8.3069 9.2561 9.8858 10.1861 10.1614 9.8297

0 1.9804 3.8560 5.5594 7.0353 8.2381 9.1348 9.7064 9.9487 9.8721 9.5003

0 1.9817 3.8545 5.5402 6.9808 8.1335 8.9698 9.4771 9.6578 9.5289 9.1201

0 1.9808 3.8461 5.5093 6.9110 8.0113 8.7873 9.2326 9.3566 9.1831 8.7477

0 1.9787 3.8344 5.4745 6.8395 7.8926 8.6162 9.0100 9.0899 8.8853 8.4368

0 1.9766 3.8234 5.4452 6.7825 7.8014 8.4885 8.8482 8.9011 8.6808 8.2309

0 1.9756 3.8184 5.4325 6.7587 7.7644 8.4380 8.7859 8.8303 8.6064 8.1589

Неявная схема.

0 1.8794 3.6389 5.2673 6.7202 7.9486 8.9086 9.5662 9.9006 9.9047 9.5859

0 1.9210 3.7247 5.3955 6.8885 8.1546 9.1503 9.8423 10.2103 10.2481 9.9637

0 1.9485 3.7852 5.4837 6.9972 8.2770 9.2807 9.9768 10.3472 10.3878 10.1087

0 1.9658 3.8248 5.5369 7.0527 8.3241 9.3108 9.9845 10.3301 10.3474 10.0498

0 1.9756 3.8472 5.5603 7.0625 8.3067 9.2559 9.8856 10.1859 10.1611 9.8294

0 1.9804 3.8560 5.5594 7.0352 8.2379 9.1346 9.7062 9.9485 9.8719 9.5000

0 1.9817 3.8545 5.5401 6.9808 8.1334 8.9697 9.4770 9.6576 9.5287 9.1199

0 1.9808 3.8461 5.5092 6.9110 8.0112 8.7872 9.2325 9.3565 9.1830 8.7475

0 1.9787 3.8343 5.4745 6.8395 7.8926 8.6161 9.0099 9.0898 8.8851 8.4366

0 1.9766 3.8234 5.4452 6.7824 7.8013 8.4884 8.8482 8.9010 8.6806 8.2308

0 1.9756 3.8184 5.4325 6.7587 7.7644 8.4380 8.7858 8.8302 8.6062 8.1588

Матрица ошибок (явная - неявная).

1.0e-003 *

0 0.0477 0.0823 0.1265 0.1766 0.2272 0.2738 0.3133 0.3442 0.3655 0.3775

0 0.0465 0.0811 0.1245 0.1736 0.2229 0.2684 0.3071 0.3373 0.3583 0.3704

0 0.0432 0.0774 0.1187 0.1646 0.2105 0.2527 0.2887 0.3172 0.3376 0.3501

0 0.0382 0.0714 0.1092 0.1501 0.1906 0.2278 0.2601 0.2862 0.3060 0.3196

0 0.0320 0.0634 0.0966 0.1310 0.1646 0.1959 0.2237 0.2476 0.2674 0.2833

0 0.0253 0.0539 0.0815 0.1085 0.1346 0.1596 0.1832 0.2054 0.2265 0.2466

0 0.0186 0.0433 0.0648 0.0842 0.1029 0.1221 0.1424 0.1644 0.1883 0.2144

0 0.0125 0.0326 0.0480 0.0603 0.0725 0.0871 0.1056 0.1288 0.1572 0.1906

0 0.0073 0.0229 0.0329 0.0394 0.0468 0.0584 0.0766 0.1024 0.1361 0.1771

0 0.0036 0.0157 0.0220 0.0247 0.0292 0.0397 0.0587 0.0873 0.1256 0.1727

0 0.0024 0.0133 0.0184 0.0199 0.0237 0.0340 0.0535 0.0833 0.1235 0.1729

Максимальная ошибка = 3.774749201017613e-004