Решение задачи.

Задание: получить приблизительное решение данной краевой задачи уравнения в частных производных математической физики методом сеток.

(1)

(2)

Классификация задачи.

Данное уравнение является уравнением гиперболического типа и физически отражает процесс колебания струны. Искомое решение - вертикальное отклонение струны в точке x в момент времени y.

Данная краевая задача состоит в нахождении функции, удовлетворяющей уравнению (1), а также заданным начальным и граничным условиям (2).

Граничное условие первого рода определяет закон движения правого конца струны. Для левого конца в качестве граничного условия задано так называемое условие «свободного конца» (граничное условие второго рода):

Начальные условия и задают начальную форму струны и распределение скоростей в начальный момент времени.

Функция имеет смысл плотности внешней силы, рассчитанной на единицу длины.

Решение задачи с помощью явной разностной схемы

В явной разностной схеме значение сеточной функции на последующем слое полностью определяется значением её на предыдущем слое по рекуррентным формулам. В данной задаче аппроксимацию дифференциальных операторов проведём по следующим шаблонам:

2.1 Аппроксимация дифференциального уравнения

Для сведения задачи к явной разностной схеме используем шаблон " крест". Описание аппроксимации дифференциальных операторов с помощью этого шаблона приведено в разделе“Теоретические сведения”.

Получаем конечно-разностную систему:

(3^*)

Обозначим  = /h и выразим u _i,j+1 через остальные значения сеточной функции, входящие в уравнение:

(3)

Уравнение (3) должно выполняться для всех внутренних узлов сетки. Для того чтобы система стала полностью определенной, необходимо дополнить ее уравнениями получаемыми из аппроксимации краевых и начальных условий.

2.2 Аппроксимация 1-го начального условия.

(4)

2.3 Аппроксимация 2-го начального условия.

Второе начальное условие в общем виде выглядит следующим образом: (конкретно в нашей задаче ).Для более точного его аппроксимирования разложим U(x,y) в окрестности точки (x,0) по формуле Тейлора:

Используя исходное уравнение и начальное условие получим:

Перейдем к конечным разностям, записываемым в узле (i,1), т.е. на первом слое:

(5^*)

Подставляя в эту формулу данные нашей конкретной задачи получаем:

(5)

Принимая во внимание уравнение (4) получаем:

(6)

Формула (6) используется на начальном этапе для вычисления значения функции U на первом слое по известным значениям функции U на нулевом слое и на границе. После того как значения U_i,j для j = 0 и j =1 определены, включается рекуррентная процедура, описываемая уравнением (3), и вычисляется U_i,j+1 для всех i=1,2,..,M-1 для каждого фиксированного j = 1,2,..,N-1.

4. Аппроксимация 1-го граничного условия.

(7)

2.5 Аппроксимация 2-го граничного условия.

Разложим U(x,y) в окрестности точки (0,y) по формуле Тейлора:

Выразим из этого уравнения и подставим в него значение :

(8)

где

Теперь возьмем j = 0 и с учетом получим (4):

(8^*)

Чтобы найти подставим в конечно-разностную систему(3^*) значения i = 0 и j = 0.Опять же учтем равенство (4):

(8^**)

ищется из аппроксимации 2-ого начального условия (5^*), путем подстановки в него i =0:

Воспользуемся условием (4) и учтем, что . Тогда в итоге получим:

Подставим этот результат в выражение (8^**):

Подставляя в выражение (8^*) получаем:

или

Таким образом, теперь у нас есть все необходимые данные, чтобы воспользоваться выражением (8) при

j = 1,..,N

Порядок аппроксимации данной разностной схемы

Устойчивость решения.

Для уравнений гиперболического типа метод спектральных гармоник приводит к следующему условию устойчивости:

(9)

т.е. если это условие устойчивости не будет выполнено, то в процессе рекуррентного решения возможно накапливание ошибок от слоя к слою.

Отсюда, в частности, получаем для явной схемы () условие устойчивости Куранта-Леви:. Итак, у нас при j =0 и j =1 определены. Теперь включается рекуррентная процедура описываемая уравнением (3) и вычисляется для всехi=1,2,...,M-1, для каждого фиксированного j=2,...,N-1. Текст программы в среде Matlab приведен в “Приложении”. Графики функции, являющейся решением нашего дифференциального уравнения изображены в “Приложении”.