Первая краевая задача для уравнения колебаний струны.

Рассмотрим струну длиной l, закрепленную в точках x=0, x=l. Положение каждой точки струны характеризуется значением координаты x. Пусть U=U(x, t)  вертикальное отклонение струны в точке x в момент времени t от положения равновесия.

Так как концы струны закреплены, то в любой момент времени должны выполняться граничные условия U(0,t) = 0; U(l,t) = 0. Процесс колебания струны зависит от ее начальной формы и от распределения скоростей, поэтому задаются начальные условия:

Начальные и граничные условия определяют решение уравнения струны.

где

- натяжение струны;

p - плотность материла струны;

f(x,t) - плотность внешней силы, рассчитанная на единицу длины струны.

Если концы струны движутся по заданному закону, то граничные условия принимают другой вид: . Возможны также и другие типы граничных условий: условие “свободного конца”-, условие“упругого закрепления”- , где-коэффициент жесткости закрепления.

Итак, первая краевая задача для уравнения колебаний струны ставится следующим образом: найти функцию, определенную в области,, удовлетворяющую уравнению:

0 < x < l, t > 0.

а также следующим граничным условиям:

; , t > 0

и начальным условиям:

, ,,

где - заданные функции;a - известная постоянная.

§2 Метод сеток

Метод сеток состоит в сведении решения краевой задачи к решению алгебраических уравнений для так называемой сеточной функции. Для этого область G непрерывного изменения аргумента заменяется областью дискретного его изменения. Дифференциальный оператор заменяется некоторым разностным оператором. Краевые и начальные условия заменяются на соответствующие разностные аналоги. Выберем в области, где ищется решение дифференциального уравнения, некоторое конечное множество точек, в которых и будем искать решение уравнения. Ясно, что чем больше мы возмем таких точек, тем точнее решим уравнение. Множество таких точек называется сеткой, отдельные точки – узлы сетки. Функция, определенная в узлах сетки, называется сеточной функцией.

Пусть ω_h – сетка в некоторой области G, H_h – линейное пространство сеточных функций, заданных на ω_h ; H₀ –линейное пространство гладких функций (x) ;-норма в H₀ ; -норма в H_h. Предполагается, что:

1. существует оператор проектирования P_h такой, что

P_h=_hH_h для любого H₀

2. нормы исогласованы, т. е.

||P_h || =

Рассмотрим некоторый дифференциальный оператор λ, заданный в H₀, и оператор λ_h, преобразующий сеточную функцию _h в сеточную функцию λ_hh, заданную на ω_h.

Погрешностью аппроксимации оператора λ разностным оператором λ_h называется сеточная функция ψ_h = λ_hh – (λ)_h, в сеточном пространстве H_h , где _h= P_h, (λ)_h= P_h(λ), -любая функция из H₀. Если при этом

|| ψ_h ||_h= ||λ_hh - (λ)_h||_h = O(h^m), то разностный оператор λ_h аппроксимирует дифференцальный оператор λ с порядком m>0.

При формулировке соответствующей разностной задачи необходимо аппроксимировать не только дифференциальное уравнение, но и краевые и начальные условия.

§3 Разностная аппроксимация простейших дифференциальных операторов.

Пусть дан линейный дифференциальный оператор L, действующий на функцию v=v(x). Заменяя входящие в Lv производные разностными отношениями, получим вместо Lv разностное выражение L_hv_h, являющееся линейными комбинациями значений сеточной функции v_h на некотором множестве узлов сетки, называемом шаблоном. Такая приближенная замена Lv на L_hv_h называется аппроксимацией дифференциального оператора разностным оператором ( или разностной аппроксимацией оператора L).

Изучение разностных аппроксимаций оператора L вначале производят локально, т.е. в любой фиксированной точке x области _h. Прежде чем приступать к разностной аппроксимации оператора необходимо выбрать шаблон, т.е. указать множество соседних с узлом х_i узлов, в которых значения сеточной функции v_h(x_i)=v(x_i) могут быть использованы для аппроксимации оператора L.

Обозначим: (x)=L_hv(x)-Lv(x) при h0. Величина (x) называется погрешностью разностной аппроксимации Lv в точке х.

Говорят, что L_h аппроксимирует дифференциальный оператор L с порядком m>0 в точке х, если

(x)=L_hv(x)-Lv(x)=О(h^m).

Пример.

Рассмотрим дифференциальный оператор в уравнении колебаний:

, v=v(x,y).

Сначала аппроксимируем этот оператор на Т-образном шаблоне

Здесь j- номер слоя по оси времени у, а i – номер точки на стержне, т.е. v_i,j – смещение от положения равновесия в момент времени y_j=j в точке x_i=ih. Аппроксимация имеет вид

или .

Так как

,

То погрешность аппроксимации имеет порядок

=L_hv-Lv=O(²+h²).

Рассмотрим аппроксимацию этого оператор на шаблоне «крест»:

Она имеет вид:

или

.

Таким образом:

=L_hv-Lv = O(²+h²).