ЧМ (ЭКТ-3) / Лабы / Лаба 7 (ДЗ) / vychmat

Лабораторная работа №7(домашнее задание).

Решение дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка.

Теоретические сведения.

К дифференциальным уравнениям гиперболического типа приводят задачи колебания струны, движения сжимаемого газа, распространение возмущения электромагнитных полей и многие другие. Рассмотрим одномерную задачу на примере решения задачи малых колебаний натянутой струны с распределенной по длине нагрузкой :

, (1)

где – смещение струны относительно положения равновесия, а – константа, имеющая размерность скорости. Запишем начальные и краевые условия этой задачи (ограничимся краевыми условиями первого рода):

(2)

где , а .

Составим несложную, но достаточно эффективную разностную схему решения этой задачи. Выберем прямоугольную и для простоты равномерную сетку с шагом по времени равным ( узел) и по координате – ( узел). Введем обозначения , , и . Аппроксимируя производные конечными разностями, получим трехслойную схему

, (3)

или, вводя обозначение ,

. (4)

Здесь индекс , а граничные условия будут иметь вид

. (5)

Данную схему по форме шаблона называют схемой «крест»:

(i,j+1)

|

(i-1,j) — (i,j) — (i+1,j)

|

(i,j-1)

Организация вычисления по этой схеме достаточно проста. На нулевом слое решение известно из начального условия с . На первом слое решение также можно вычислить, используя второе начальное условие в виде разностного уравнения,

, (6)

откуда

. (7)

Устойчивость этой схемы для однородного уравнения исследуем методом разделения переменных. Основная идея этого метода состоит в том, что исследуется решение на слое в виде комплексной гармоники и рассматривается ее поведение. При этом если модуль множителя (коэффициента) роста гармоники больше единицы при переходе со слоя на слой, то процесс считают неустойчивым, а соответствующий алгоритм не сходится. В соответствии с этим положим

(8)

где – номер гармоники, – множитель роста, а – мнимая единица. Подставим выражения (8) в уравнения (3) или (4) и сократим на , тогда получим уравнения для определения множителя роста:

. (9)

Условием устойчивости является . По теореме Виета произведение корней этого уравнения . Следовательно, условие устойчивости может быть выполнено, если . Для уравнения с действительными коэффициентами это означает, что корни образуют комплексно сопряженную пару, это означает, что дискриминант уравнения не должен быть положительным:

. (10)

Чтобы это условие выполнялось для любых гармоник, необходимо и достаточно соблюдение условия Куранта . Таким образом, схема «крест» условно устойчива.

Лабораторное задание.

Вариант №26.

Решить уравнение гиперболического типа , используя схему «крест», в области . С начальными и краевыми условиями

Отобразить полученное решение графически.

	0
	0

Текст программы.

clc

clear

tau=0.01

a=0

b=1

x=a:tau:b;

t=a:tau:b;

n=(b-a)/tau +1

f=zeros(n,n);

u=zeros(n,n);

sig=1;

for i=1:n

for j=1:n

f(i,j)=t(j)*x(i)*x(i);

end

u(1,i)=x(i)*x(i);

u(2,i)=u(1,i);

end

for j=1:n,

u(j,1)=0;

u(j,n)=t(j)+1;

end

for i=2:n-1

for j=2:n-1

u(i+1,j)=-u(i-1,j)-2*(sig-1)*u(i,j)+sig*(u(i,j+1)+u(i,j-1))+(tau^2)*f(i,j);

end

end

%meshgrid(x,t)

mesh(x,t,u)

end

График решения:

4