4.4. Кусочно-полиномиальная интерполяция

, Интерполяция многочленом Лагранжа или Ньютона на отрезке с использованием большого числа узлов приводит к увеличению степени интерполяционного многочлена, что затрудняет вычисления и увеличивает погрешность. Для решения этой проблемы отрезокразбивают на части и на каждой из них приближенно заменяют функцию многочленом некоторой, обычно не слишком большой степени. Такой подход к решению задачи интерполяции называется кусочно-полиномиальной интерполяцией. Одним из видов кусочно-полиномиальной интерполяции является интерполяцией с помощью сплайн-функций.

Сплайн-функцией или сплайном называют кусочно-полиномиальную функцию, определенную на отрезке и имеющую на нем некоторое число непрерывных производных. Слово«spline» означает гибкую линейку, используемую для проведения гладких кривых через заданные точки плоскости. Преимущество сплайнов перед обычной интерполяцией заключается в том, что их сходимость к функции осуществляется быстрее. Более того, использование сплайнов повышает устойчивость процесса вычислений. Рассмотрим распространенный в вычислительной практике случай, когда сплайн определяется с помощью многочленов степени .

Интерполяционным сплайном порядка , соответствующим данной функции и данным узлам , называется функция, удовлетворяющая следующим условиям:

1. на каждом из отрезков она является многочленом степени();

2. на отрезке она имеет непрерывные производные до порядка;

3. , при

Если , то для единственностиследует задать дополнительно ещеусловий, которые обычно задаются на концах отрезкалибо произвольно, либо из дополнительной информации о поведении . Приполучаем так называемый метод ломаных (каждая точка соединяется с соседними прямой линией). Очевидно, что равномерно сходится к непрерывной на отрезкефункции . Равномерная сходимость имеет место для квадратичного и кубического сплайна , причем скорость сходимости повышается вместе с увеличением порядка сплайна и повышением гладкости функции .

Рассмотрим построение кубического сплайна . На каждом из отрезков, где , будем искать функцию в виде многочлена третьей степени

.(4.19)

Здесь , , а , , и – коэффициенты, подлежащие определению. Выясним смысл введенных коэффициентов, для чего вычислим первые три производные функции (4.19):

Отсюда для получим

(4.20)

Сучетом условия получим, что для

.(4.21)

Доопределим, кроме этого, . Таким образом, коэффициентыопределены.

Требование непрерывности функции приводит к условиям при (4.22)

Из выражения (4.22)с учетом выражений (4.18), получаем при уравнения

(4.23)

Обозначив перепишем в виде

, для . (4.24)

Условия непрерывности первой производной для , приведут к уравнениям

, для , (4.25)

а из условий непрерывности второй производной получим

, для .(4.26)

Объединяя уравнения (4.24)-(4.26), получим систему уравнений относительнонеизвестных , , (при ). Два недостающих условия получают, задавая те или иные граничные условия для . Пусть длявыполняются условия, тогдаили и , т.е. получаем два уравнения

и . (4.27)

Заметим, что условие совпадает с уравнением (4.26) при . Таким образом, для определения неизвестных коэффициентов приходим к к замкнутой системе уравнений:

(4.28)

Систему уравнений (4.28) можно решать различными методами, однако путем преобразований ее можно свести к решению СЛАУ с трехдиагональной матрицей:

(4.29)

а (4.30)

где . Отметим, что систему уравнений (4.29) можно решать с помощью метода прогонки.

численное дифференцирование и интегрирование

В прикладных задачах в результате расчетов или измерений получаются таблицы значений, определяющие некоторые функциональные зависимости. Как правило, такие таблицы для получения необходимых для исследователей новых характеристик требуется обрабатывать. Очень часто приходится находить производные или интегралы от соответствующих этим зависимостям функций. Численное дифференцирование и интегрирование применяется в тех случаях, когда производную или интеграл от функции трудно или невозможно вычислить аналитически, а также в случае, когда сама функция задана таблицей. Кроме этого формулы численного дифференцирования используются при разработке вычислительных методов решения дифференциальных и нелинейных уравнений, поиска точек экстремума и т.д. Необходимо отметить, что формулы численного интегрирования в целом хорошо обусловлены, т.е. погрешность задания функции оказывает контролируемое влияние на точность вычисления.