4.2. Полиномиальная интерполяция. Формула Лагранжа

Известно, что любая непрерывная на отрезке функцияможет быть хорошо приближена некоторым полиномом^*, о чем говорит теорема Вейерштрасса: Для любого существует полиномстепени, такой, что.

Однако эта теорема не дает ответа на вопрос о существовании хорошего интерполяционного полинома для заданного множества точек . Будем искать такой полином методом неопределенных коэффициентов с использованием степенного базиса. Представим интерполяционный полином в виде

,(4.5)

где – неопределенные коэффициенты. Приняв во внимание (4.1), для нахождения неизвестных коэффициентовполучим систему линейных алгебраических уравнений:

(4.6)

Данная система имеет единственное решение, так как ее определителем является отличный от нуля определитель Вандермонда

(4.7)

для . Отсюда следует, что интерполяционный полином (4.5) существует и единственен (форм его записи существует множество).

В качестве базиса для построения интерполяционного полинома были взяты функции . Однако более удобным для вычислений является использование коэффициентов Лагранжа

(4.8)

где индексы иизменяются отдо, или полиномов Лагранжа (принимающих аналогичные значения при)

.(4.9)

Очевидно, что полином принимает значениев узлеи равен нулю во всех остальных узлах. Отсюда следует, что интерполяционный полином

(4.10)

имеет степень не выше и. Таким образом, полином, приближенно описывающий исходную функцию, найден. Формулу (4.10) называют формулой Лагранжа. Число арифметических операций для вычисления по формуле Лагранжа пропорционально. Предположив, что функцияимеет-ю непрерывную производную, можно получить, что погрешность аппроксимации составляет

для . (4.11)

4.3. Разделенные разности и интерполяционная формула Ньютона

Для вычислений удобна форма записи интерполяционного полинома, связанная с разделенными разностями. Введем разделенные разности для известных точек :

нулевого порядка ;

первого порядка ;

второго порядка и т.д.

Разделенные разности имеют размерности соответствующих производных функции . Если исходная функция представима в виде полиномастепени , то разделенные разности можно записать относительно этого полинома соответственно:

первого порядка ;

второго порядка и т.д.

Для разделенных разностей справедливо равенство

(4.12)

доказательство которого можно провести по индукции.

Непосредственно из (4.12) вытекает ряд следствий:

1. Разделенная разность является линейным оператором относительно функции :

2. Разделенная разность есть симметрическая функция своих аргументов (т.е. не изменяется при любой их перестановке).

Если функция задана в точках , то

таблицу

называют таблицей ее разделенных разностей.

Построим интерполяционные формулы, используя разделенные разности полиномов. Пусть – полином степени . Вычтя из константу , получим полином , который обращается в нуль при и поэтому делится нацело на . Следовательно, первая разделенная разность полинома степени

(4.13)

есть полином степени относительно и в силу симметричности выражения (4.13) относительно . Аналогично вторая разность есть полином степени. В самом деле, числитель разделенной разности

(4.14)

обращается в нуль при и, значит, нацело делится на , а степень полинома при этом уменьшается на единицу. Далее можно показать, что разделенная разность есть полином нулевой степени, т.е. константа, а разделенные разности более высоких порядков равны нулю.

Выразив из (4.13) полином , а из (4.14) полином получим

(4.15)

и т.д. Эта цепочка соотношений конечна, так как разделенная разность полинома равна нулю. Последовательно подставив эти соотношения друг в друга, получим формулу

которая содержит значения разделенных разностей полинома в узлах . Однако значения интерполяционного полинома в узлах по определению совпадают со значениями функции и поэтому разделенные разности функций и равны. Подставив в полученную формулу разделенные разности функции , получим интерполяционный полином в виде

. (4.16)

Этот полином называется интерполяционным полиномом Ньютона.

Пример. Пусть функция . Выберем в качестве узлов точки . Составим таблицу разделенных разностей: (нету)

С учетом найденных величин, получим

Применив интерполяционный полином, можно приближенно найти значения функции в точках, не совпадающих с узлами. В нашем случае, например, . Если узлы интерполяции отстоят друг от друга на одном и том же расстоянии, т.е. удовлетворяют соотношению , где , а , то, обозначив , получим следующие равенства:

и т.д. В общем случае

, (4.17)

где . Тогда

Поэтому интерполяционный полином (4.16) преобразуется к виду

.(4.18)