3.3. Итерационные методы решения слау

В СЛАУ (3.1) представим матрицу в виде

,тогда система приобретает вид или .

(3.13)

Рассмотрим последовательность векторов , удовлетворяющую условию

,(3.14)

где (), и вектор , где – решение заданной системы.

Вычтя из равенства (3.13) равенство (3.14), получим , т.е. . Поэтому ,

…,

и, если множество стремится к нулю, то итерационный процесс (3.14) сходится и пределом последовательности является вектор – решение данной системы.

Итерационный метод (3.14) сходится тогда и только тогда, когда каждое собственное значение матрицы удовлетворяет неравенству .

Скорость сходимости зависит от спектрального радиуса матрицы , который определяется равенством .

1. Метод простой итерации. Метод простой итерации сводится к представлению матриц и в следующем виде:

, ,

Тогда матрицу можно вычислить следующим образом

.

Из неравенства (3.14) следует, что

. (3.15)

Соотношение (3.15) определяет алгоритм вычисления.

Пример. Решить методом простой итерации систему уравнений

Выразим из первого уравнения, – из второго и – из третьего. Получим

то есть

где . Используя это соотношение, можем последовательно вычислять векторы . Решение будет найдено, когда , где – некоторая заданная точность решения.. Метод Зейделя. Матрицы и определяются следующим образом:

, ,

где – нижняя треугольная матрица, а – верхняя (строго) треугольная матрица.

Применяя метод Зейделя к решению рассмотренной выше системы, получим следующие соотношения

для членов последовательности .

Численная интерполяция

Часто требуется восстановить функцию для всех значенийна отрезке, если известны ее значения в конечном числе точек этого отрезка. Эти значения могут быть найдены в результате наблюдений или вычислений, кроме того, может оказаться, что функциянаходится по достаточно трудоемкой для вычисления формуле и желательно иметь более простую формулу, чтобы определить функцию с заданной точностью. В результате возникает математическая задачаинтерполяции.

4.1. Постановка задачи интерполяции

Пусть на отрезке задана сеткаи в ее узлах заданы значения функции, равные. Требуется построитьинтерполянту – функцию , совпадающую с функциейв узлах сетки:

, (4.1)

где – некоторые неизвестные параметры.

Основная цель – получить быстрый (экономичный) алгоритм вычисления значений для, не содержащихся в таблице данных. Основным вопросом интерполяции является выбор интерполянтыи оценка погрешности интерполяции, т.е. величины. Фактически он заключается в определении неизвестных параметров. По числу используемых узлов сетки будем называть интерполяцию одноточечной, двухточечной и т.д.

Если нелинейно зависит от параметров, то интерполяция называется нелинейной. Рассмотрим линейную зависимость функцииот параметров, т.е. будем считать, что она представима в виде обобщенного многочлена

.

(4.2)

Известные, заранее заданные, функции должны быть линейнонезависимыми, иначе число членов в сумме и параметров можно уменьшить. На систему функцийнеобходимо наложить еще одно ограничение. Подставив (4.2) в (4.1), получим следующую систему линейных алгебраических уравнений для определения неизвестных коэффициентов:

.(4.3)

Чтобы задача (4.3) имела единственное решение, надо, чтобы для любого расположения узлов (лишь бы среди них не было совпадающих), определитель системы уравнений (4.3) был отличен от нуля: (4.4)

для . Система функций, удовлетворяющая требованию (4.4), называется чебышевской. Таким образом, для линейной интерполяции необходимо строить обобщенный полином по какой-либо чебышевской системе функций.

В качестве линейнонезависимых функций чаще всего выбирают: степенные функции(тогда– полином степени), тригонометрические функции(в этом случае– тригонометрический полином), экспоненциальные и другие функции. Мы рассмотрим интерполяцию полиномами и сплайн-интерполяцию – кусочно-полиномиальную интерполяцию.

Указанный способ подбора функции называется лагранжевой интерполяцией. Возможен и другой способ, в котором требуется совпадение не только самих значений функции, но и их производных. В этом случае говорят об интерполяции Эрмита.