1.2. Погрешности результатов численного решения задач

Следует правильно воспринимать тот факт, что вычисления, проводимые при помощи ЭВМ, являются приближенными. Не вызывает недоумения, что в реальной жизни нам приходится иметь дело с приближенными величинами. Так любые экспериментальные измерения проводятся с некоторой погрешностью, часто не имеет смысла оперировать слишком малыми долями оцениваемых величин, нахождение точных значений искомой величины приводит к неоправданным затратам времени, сил и средств. Однако непременным требованием к вычислениям является получение решения с контролируемой погрешностью.

Анализируя вычисления и обработку данных при помощи ЭВМ можно выделить следующие причины погрешности результата:

1. физическая и математическая модели являются лишь приближенными описаниями реального процесса или явления;

2. исходные данные, используемые для расчетов, содержат погрешности, так как их получают из экспериментов или предварительных вычислений;

3. применяемые для расчетов численные методы, как правило, являются приближенными;

4. представление чисел в ЭВМ и выполнение арифметических операций проводятся приближенно.

Пусть – некоторое точное, а – приближенное решение. Его погрешность будет складываться из неустранимой погрешности , обусловленной первыми двумя причинами, погрешности численного метода и погрешности представления и оперирования данными ЭВМ . Обычно исходят из предположения, что физическая и математическая модели фиксированы, и начальные данные для расчетов задаются извне, т.е. величина задана и не меняется в процессе вычислений. Зная величину неустранимой погрешности, можно выбрать соответствующий ей численный метод. Желательно, чтобы погрешность метода была в 2-10 раз меньше неустранимой. Большое значение существенно снижает точность расчетных данных, слишком малое ее значение неоправданно увеличивает временя вычисления. Величина погрешности представления и оперирования данными ЭВМ зависит от типа ЭВМ и, как правило, должна быть хотя бы на порядок меньше погрешности метода .

Для оценки точности вычислений используют два вида погрешностей – абсолютную и относительную. Абсолютной погрешностью приближенного решения называют модуль разности между точным и приближенным значениями:

(1.1)

Как видно, из величины абсолютной погрешности невозможно определить качество приближения. Например, пусть абсолютная погрешность вычисления составляет . Много это или мало? Очевидно, что для – это большая величина, в то время как для – это приемлемая точность. Для определения качества приближения вводят относительную погрешность (при ) в виде:

.(1.2)

Для приведенного ранее примера составляет и . Использование относительной погрешности удобно и потому, что не зависит от масштабов и единиц измерения.

Анализ погрешностей на численные вычисления описан во многих специализированных трудах и справочниках. Ограничимся только некоторыми правилами обработки приближенных данных. Наиболее важные из них определяются следующими утверждениями (здесь введены обозначения: ; ):

относительные погрешности суммы и разности определяются максимальной погрешностью величин:

,(1.3)

.(1.4)

1. относительные погрешности произведения и частного определяются следующими величинами:

,(1.5)

. (1.6)

2. относительная погрешность вычисления дифференцируемой в некоторой области функции имеет вид:

.

(1.7)

Неравенство (1.3) означает, что при суммировании приближенных чисел одного знака потери точности не происходит, а при вычитании приближенных чисел одного знака ошибка возрастает в раз и возможна существенная потеря точности. Например, если числа и близки настолько, что , т.е. , не исключена полная или почти полная потеря точности. Таким образом, при построении численного метода следует избегать вычитания близких чисел. Если такое вычитание неизбежно, то необходимо учитывать потерю точности примерно в раз. При малых относительных погрешностях чисел и правило 2 используют в следующем виде: . Всякий раз, когда на ЭВМ производится расчет по формуле, вносится некоторая неустранимая ошибка, вызванная тем, что вместо вычисляется .

Анализируя погрешности, следует сказать и о неточностях вычислений на ЭВМ, вносимых машинной арифметикой. Следует отметить две их причины. Первая – ЭВМ работает в двоичном (или кратном двоичному) коде. Например, число в двоичном коде будет иметь вид . Вторая – конечное количество разрядов, используемых для записи чисел. Первая особенность приводит к тому, что такое «простое» число как, например, , в двоичном коде будет иметь вид периодической дроби . Вторая особенность проявляется в том, что при умножении значительного количества чисел больших единицы, происходит переполнение разрядов (машинная бесконечность), а меньших единицы – исчезновение порядка (машинный нуль).

решение трансцендентных уравнений

Очень часто в прикладных задачах требуется решить уравнение вида

,(2.1)

где – неизвестная переменная. При этом функция может быть полиномом, элементарной или специальной функцией, область определения значения корней может быть ограничена или не ограничена. Будем считать, что функция непрерывна вместе со своими производными в области, где ищется решение. Типичным примером необходимости такого рода решений служит дисперсионное уравнение в теории распространения волн.

Численное решение уравнения вида (2.1) предполагает выполнение двух этапов. На первом этапе, определяется количество корней уравнения в искомом интервале значений переменной . Лучше всего этот этап реализовывать не программным, а интерактивным образом (построить график и визуально определить количество корней и их местонахождение). Искомый корень следует изолировать, выбрав интервал, на котором он является единственным. Такой интервал называют интервалом изоляции корня. На втором этапе определяется этот изолированный корень. Напомним, что корнем уравнения (2.1) называется такое значение переменной , при котором уравнение обращается в тождество.

Для нахождения решения уравнения (2.1) существует множество методов, далее рассматриваются некоторые из них.