8.3. Решение дифференциальных уравнений эллиптического типа

Рассмотрим в качестве примера задачу об определении электростатического потенциала и напряженности электрического поля в бесконечном металлическом желобе прямоугольного сечения (рис.8.2). Верхняя стенка желоба имеет потенциал , а остальные стенки заземлены и находятся под нулевым потенциалом. Необходимо найти функцию , описывающую распределение потенциала в этой области.

Из электростатики известно, что распределение потенциала удовлетворяет уравнению Пуассона.

,

(8.24)

которое в декартовой системе координат будет иметь вид

.(8.25)

Функция определяет плотность зарядов в исследуемой области. Необходимо найти решение уравнения (8.24), удовлетворяющее граничным условиям

(8.26)

После определения потенциала можно найти и напряженность электрического поля , используя соотношение

.

Поставленная задача является частным случаем задачи Дирихле, когда необходимо найти решение дифференциального уравнения в частных производных в замкнутой области при заданном распределении искомой функциина границе этой области. В случае прямоугольной области и отсутствие электрических зарядов в областидля граничных условий (8.26) решение можно получить аналитически, методом разделения переменных. Однако аналитическое решение не обобщается на более сложные границы и граничные условия. В некоторых задачах аналитические решения настолько громоздки, что невозможно осуществить их анализ без проведения численных расчетов, в таком случае численные решения могут оказаться более предпочтительными вследствие их универсальности.

Для представления производных введем, как и раньше, прямоугольную сетку, разбивая исследуемую область вдоль оси начастей, а вдольна. Приближенные значения искомой функции в узле будут определяться значениями функции в соседних узлах. Для этого представим вторые производные в виде разностного аналога

,(8.28)

(8.29)

где и– шаг сетки по координатами, соответственно, а. Откуда

Это один из простейших шаблонов, часто называемый шаблоном типа «крест», будет иметь вид:

После преобразований (8.30) получаем систему уравнений относительно :

,(8.31)

где . Для квадратной сетки, которая наиболее удобна для вычислений, формула упрощается, и ее знаменатель будет равен четырем. Система (8.31) является неявной и обычно решается итерационными методами, например методом Зейделя. Итерационный процесс завершается при выполнении в каждом узле сетки условия

,(8.32)

где – номер итерации, а заданная погрешность вычисления потенциала.

В качестве примера реализации программы рассмотрим случай соответствующий рисунку 8.2 при , а длина стенок равна 1.

8.4. Решение дифференциальных уравнений гиперболического типа

К дифференциальным уравнениям гиперболического типа приводят задачи колебания струны, движения сжимаемого газа, распространение возмущения электромагнитных полей и многие другие. Рассмотрим одномерную задачу на примере решения задачи малых колебаний натянутой струны с распределенной по длине нагрузкой :

,

(8.33)

где – смещение струны относительно положения равновесия, а– константа, имеющая размерность скорости. Запишем начальные и краевые условия этой задачи (ограничимся краевыми условиями первого рода):(8.34)

где , а.

Составим несложную, но достаточно эффективную разностную схему решения этой задачи. Выберем прямоугольную и для простоты равномерную сетку с шагом по времени равным (узел) и по координате–(узел). Введем обозначения,,и. Аппроксимируя производные конечными разностями, получим трехслойную схему

(8.35)

или, вводя обозначение ,

. (8.36)

Здесь индекс , а граничные условия будут иметь вид

. (8.37)

Данную схему по форме шаблона называют схемой «крест»:

(i,j+1)

Организация вычисления по этой схеме достаточно проста. На нулевом слое решение известно из начального условия с. На первом слое решение также можно вычислить, используя второе начальное условие в виде разностного уравнения,

, (8.38)

откуда

.(8.39)

Устойчивость этой схемы для однородного уравнения исследуем методом разделения переменных. Основная идея этого метода состоит в том, что исследуется решение на слое в виде комплексной гармоники и рассматривается ее поведение. При этом если модуль множителя (коэффициента) роста гармоники больше единицы при переходе со слоя на слой, то процесс считают неустойчивым, а соответствующий алгоритм не сходится. В соответствии с этим положим

(8.40)

где – номер гармоники, – множитель роста, а – мнимая единица. Подставим выражения (8.40) в уравнения (8.35) или (8.36) и сократим на, тогда получим уравнения для определения множителя роста:

. (8.41)

Условием устойчивости является . По теореме Виета произведение корней этого уравнения. Следовательно, условие устойчивости может быть выполнено, если. Для уравнения с действительными коэффициентами это означает, что корни образуют комплексно сопряженную пару, это означает, что дискриминант уравнения не должен быть положительным:

.

(8.42)

Чтобы это условие выполнялось для любых гармоник, необходимо и достаточно соблюдение условия Куранта . Таким образом, схема «крест» условно устойчива.

Построим более сложную, но хорошую схему, которая устойчива при любых значениях . В схеме решения (8.35) вторая производная по координате аппроксимирована в слое с номером , составим уравнение, в котором эта производная представлена в виде суммы с весамив слоях,и:

(8.43)

Для того чтобы все веса были неотрицательны, необходимо потребовать . В граничных узлах решение определяется из краевых условий, организация счета аналогична схеме «крест». Кроме этого, данная схема является неявной, при построении расчетов относительнополучаем систему линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей коэффициентов.

Исследуем устойчивость этой схемы методом разделения переменных. Делая подстановку (8.40), получаем уравнение для множителя роста:

,(8.44)

где

На основании тех же рассуждений, что и для схемы крест, можно сделать вывод: устойчивость будет только при комплексно сопряженных корнях, т.е. при . Отсюда вытекает условие устойчивости схемы:

.(8.45)

Из этого неравенства видно, что при схема – условно устойчива, а присхема – безусловно устойчива. Отметим, что присхема (8.43) переходит в схему крест.

*