8.2. Решения дифференциальных уравнений параболического типа
Рассмотрим уравнение теплопроводности, описывающее распространение тепла в однородном стержне
,
(8.13)
где
функция
определяет температуру стержня в сечении
в момент времени
,
,
а
.
Здесь
– коэффициент температуропроводности,
– заданная функция, равная нулю, если
внутри стержня отсутствуют источники
тепла. Нетрудно убедится, используя
канонический вид дифференциального
уравнения (8.1) и выражение для вычисления
дискриминанта (8.2), что это уравнение
является дифференциальным уравнением
параболического типа.
Построим разностную схему решения дифференциального уравнения (8.13) с начальным условием и граничными условиями
,
.(8.14)
Как
и раньше введем прямоугольную сетку,
на которой определим
и
.
Заменим производные
и
разностными отношениями, причем
производную
будем аппроксимировать в слое j,
в результате получим разностную схему
,(8.15)
для
.
С начальными и граничными условиями
,
(8.16)
при
.
Данной схеме соответствует следующий
шаблон
Если
же производную
аппроксимировать разностным отношением
не на слое j,
а на слое (j+1),
то получим разностную схему
(8.17)
В
этом случае
с теми же начальными и граничными
условиями, что и для схемы (8.15). Этой
схеме соответствует шаблон
В схеме (8.15) в каждом уравнении содержится только одно значение функции на следующем слое. Это значение явно выражается через значения функции на данном слое, поэтому эта схема называется явной. Схема (8.17) содержит в каждом уравнении несколько неизвестных значений функции на новом слое, такая схема называется неявной. Перепишем схему (8.17) в следующем виде
с граничными условиями
для
.
На каждом слое с номером
схема (8.18) представляет собой систему
линейных алгебраических уравнений для
определения величин
,
правые части этих уравнений известны,
поскольку содержат значения решения в
предыдущем слое
и значения известной функции
. Пусть
,
и
.
Тогда уравнения (8.18) преобразуются к
виду
при
, (8.19)
Эта система линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей коэффициентов, она может быть решена методом прогонки.
Введем
обозначения
,
,
и
рассмотрим однородное дифференциальное
уравнение. Неявная схема будет представлена
уравнениями:
(8.20)
при
,
а явная схема:
(8.21)
или
. (8.22)
Исследуем
устойчивость схем вычисления с
использованием принципа максимума.
Внесем ошибку
на исходном слое, тогда ошибка
на новом слое будет удовлетворять для
явной схемы равенству
,
из которого следует, что
.
Решая неравенство
,
получаем условие устойчивости явной схемы
. (8.23)
Для неявной схемы, аналогично рассуждая, получаем равенство
,откуда
следует, что неравенство
выполняется
при всех
.
Это означает, что неявная схема является
безусловно устойчивой Приведем фрагмент
m-файла
для нахождения решения по явной схеме
(8.15). Температура на концах стержня
считается постоянной. Предварительно
должно быть задано начальное распределение
температуры в стержне – вектор
размерности
.
Вектор
,
также имеющей размерность
,
задает координаты точек стержня, в
которых рассчитывается температура.
Параметр
определяет значение величины
.
Значения функции вычисляются до слоя
,
кроме того, запоминается распределение
температур в слоях
,
,
(
).
На графике показывается начальное
распределение температуры, распределение
температуры в промежуточных слоях и
распределение температуры в последнем
просчитанном слое с номером
