7.3. Решение краевой задачи для оду

В отличие от задачи Коши краевые задачи предусматривают однозначное определение решения, используя значения неизвестной функции, ее первой производной или их линейной комбинации на границе рассматриваемой области. Ограничимся случаем одной переменной, тогда, если значения функции задано во внутренних точках области определения, то такую задачу называют внутренней краевой задачей, а, если на границе, то внешней краевой задачей. Среди таких задач существенную часть составляют задачи для дифференциальных уравнений второго порядка. Рассмотрим один из методов решения этих задач.

Пусть требуется найти решение дифференциального уравнения

,(7.24)

на отрезке , которое удовлетворяет краевым условиям:

(7.25)

Построим сетку на отрезке , на которой определим сеточные функции , и , приближенное решение в виде сеточной функции будем, как и прежде, обозначать через . Аппроксимируем производные, входящие в уравнения (7.24)-(7.25), со вторым порядком точности в результате получим разностную схему для краевой задачи:

, (7.26)

с краевыми условиями

(7.27)

где . Отметим без доказательства тот факт, что данная схема является устойчивой.

Введем обозначения

, , ,

для и

для и . Тогда система линейных алгебраических уравнений (7.26) – (7.27) запишется в виде:

(7.28)

или в матричном виде:

, (7.29)

где – трехдиагональная матрица, а и – вектор столбцы. Решение этой системы осуществляется, как правило, методом прогонки. Численная реализация метода полностью основывается на решении СЛАУ с трехдиагональной матрицей коэффициентов.

8.1. Решения дифференциальных уравнений первого порядка

Существует много задач о распространении частиц в веществе, например, определение теплопроводности в газах, обусловленное диффузией атомов и электронов. Такие уравнения приводят к уравнению переноса, простейшее из которых приводит к линейному дифференциальному уравнению

,(8.3)

где – скорость переноса. Для полной определенности решения зададим начальные и граничные условия

(8.4)

Построим разностную схему решения этого уравнения, которую называют схемой бегущего счета. Введем прямоугольную сетку, образованную пересечением прямых линий:

,.

Точку будем называть узлом, а множество узлов с одним и тем же значением индекса -слоем (-тым слоем). Положим – это значение функции в узле . Проведем аппроксимацию производных в уравнении (8.3), при этом будем полагать, что , а, получим следующие численные схемы(8.5)

где наилучшим приближением правой части (8.3) будет

.

(8.6)

Будем называть шаблоном разностной схемы множество узлов, входящих в соответствующую формулу. Шаблоны этих схем представлены на рисунке 8.1.

Формально первая из схем (8.5) является явной, а остальные две – неявными, фактически же они ведут себя как явные. Действительно, во всех этих задачах значение на следующем слое явно выражается через значения на предыдущем. Решение на нулевом слое определяется из начальных условий , на первом слое значенияизвестны в силу граничного условия, далее вычисляем все значения на первом слое. Затем, зная решение на первом слое, точно так же вычисляем его на втором слое и т.д.

Отметим, что явная схема пригодна для расчета на полу- или бесконечной прямой, неявные схемы бегущего счета к такой задаче неприменимы. Однако на практике задача для уравнения переноса в неограниченной области почти не встречается.

Исследуем устойчивость разностной схемы, используя принцип максимума. Пусть и – решения одной и той же разностной схемы, отвечающие разным начальным условиям. Разностная схема называется устойчивой (равномерно устойчивой), если выполняется условие

,(8.7)

где , а не зависит от и , при этом норма определяется как максимум модуля. Справедливо следующее утверждение. Если при всех выполняется условие

, (8.8)

где , а , то соответствующая разностная схема равномерно устойчива.

Условие (8.8) означает, что если на некотором слое имеется ошибка , то при переходе на следующий слой норма возрастет не более чем в раз. Для перехода от к надо сделать число шагов по времени, определяемое равенством . При этом ошибка возрастет не более чем в раз. Отсюда следует, что

,(8.9)

где , то есть выполняется (8.7).

Из соотношения (8.8) видно, что если константа велика, то, хотя схема формально устойчива, фактически ошибка может сильно возрастать в ходе расчетов, т.е. схема является слабо устойчивой. Очевидно, чем больше промежуток времени , на котором ищется решение, тем меньше величина обеспечивает устойчивость расчета. При больших схема будет устойчивой лишь при . Поэтому при проверке выполнения достаточного условия устойчивости обычно полагают .

Внесем для однородного уравнения явной схемы на слое j ошибку в вычисления , тогда ошибка на слое (j+1) будет определяться из уравнения

. (8.10)

Откуда

(8.11)

и получаем критерий равномерной устойчивости схемы

.(8.12)

Это так называемое условие Куранта. Так как схема является устойчивой не при всех значениях , то она является условно устойчивой. Аналогичные рассуждения для обеих неявных схем приводят к выводу о том, что они устойчивы при любых соотношениях , таким образом, эти схемы являются безусловно устойчивыми.