Лабораторная работа №7 Аппроксимация функции по методу наименьших квадратов

Очень часто, особенно при анализе эмпирических данных, возникает необходимость найти в явном виде функциональную зависимость между величинами и, которые получены в результате измерений. Как правило, общий вид этой функциональной зависимости известен, а некоторые числовые параметры закона неизвестны.

Пусть, например, функция задана в виде ,. Задача состоит в аппроксимации неизвестной функциональной зависимости междуимногочленом заданной степени:

.

Для решения этой задачи воспользуемся методом наименьших квадратов. Согласно этому методу коэффициенты многочлена нужно выбрать такими, чтобы сумма квадратов отклонений найденного многочлена от заданных значений функции была минимальной. Другими словами, коэффициенты должны минимизировать функцию

.

В точке минимума функции ее производныеобращаются в нуль. Дифференцируяи приравнивая нулю производные, получим так называемую нормальную систему метода наименьших квадратов:

, .

Это система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных . Можно показать, что определитель этой системы отличен от нуля, т.е. решение системы существует и единственно. Однако, на практике описанную методику применяют только для нахождения многочленов, степень которых не выше четырех-пяти. При более высоких степенях нормальная система становится плохо обусловленной и погрешности определения коэффициентов велики.

В данной лабораторной работе заданную табличную функцию требуется аппроксимировать многочленом второй степени . В этом случае нормальная система имеет вид

и ее можно решить, например, методом Гаусса, описанным в лабораторной работе №3.

*Кореньназывают простым корнем дифференцируемой функции, еслии.

*⁾Метод численного решения задачи относят к классу точных методов, если в предположении отсутствия округлений с его помощью можно получить точное решение в результате конечного числа арифметических и логических операций.

*⁾Матрицаплохо обусловлена, если малые изменения ее элементов приводят к существенным изменениям элементов матрицы.

*⁾Следует заметить, что все приведенные формулы можно записать в виде, где величины, называемые узлами, и, называемые коэффициентами квадратурной формулы, не зависят от.

*^*)Погрешности округления носят случайный характер, и существует точка зрения, что они увеличиваются с ростомкак.

9