Лабораторная работа №4 Численное интегрирование

Пусть требуется найти определенный интеграл

,

где функция непрерывна на отрезке.

Для приближенного вычисления интегралов чаще всего подынтегральную функцию заменяют «близкой» ей вспомогательной функцией, интеграл от которой вычисляется аналитически. За приближенное значение интеграла принимают значение интеграла от вспомогательной функции.

Заменим функцию на отрезке ее значением в середине отрезка. Искомый интеграл, равный площади криволинейной фигуры, заменяется на площадь прямоугольника. Из геометрических соображений нетрудно записатьформулу прямоугольников

.

Приблизив линейной функцией и вычислив площадь соответствующей трапеции, получимформулу трапеций

.

Если же приблизить подынтегральную функцию параболой, проходящей через точки ,,, то получимформулу Симпсона

.

Все три формулы хорошо иллюстрируются геометрически (рис. 2).

0

Рис.2.

Для повышения точности интегрирования применяют составные формулы. Для этого разбивают отрезок на четноечисло отрезков длиныи на каждом из отрезков длиныприменяют соответствующую формулу. Таким образом получаютсоставные формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона.

На сетке ,,, составные квадратные формулы имеют следующий вид:

Формула прямоугольников

формула трапеций

формула Симпсона

,

где – остаточные члены^*). Оценки остаточных членов получены в предположении, что соответствующие производные непрерывны на. Нетрудно показать, что приприближенные значения интегралов для всех трех формул (в предположении отсутствия погрешностей округления^**)) стремятся к точному значению интеграла.

Любая попытка сравнить достоинства приведенных формул связана с вопросом типа «что больше или?» Ответ зависит от свойств интегрируемой функции. Можно лишь утверждать, что остаточный член формулы прямоугольников примерно вдвое меньше, чем формулы трапеций, и оба они имеют порядок. А остаточный член формулы Симпсона убывает быстрее – со скоростью.

Для практической оценки погрешности квадратурной формулы можно использовать правило Рунге. Для этого проводят вычисления на сетках с шагом и, получают приближенные значения интегралаи, и за окончательные значения интеграла принимают величины:

–для формулы прямоугольников;

–для формулы трапеций;

–для формулы Симпсона.

При этом за погрешность приближенного значения интеграла принимаем величину

–для формул прямоугольников и трапеций

и величину

–для формулы Симпсона.

Такую оценку погрешностей применяют обычно для построения адаптивных алгоритмов, т.е. таких алгоритмов, которые автоматически так определяют величину шага , что результат удовлетворяет требуемой точности.

В настоящей лабораторной работе предлагается с помощью правила Рунге найти по заданной погрешности наибольшее значение шагадля каждой приведенной квадратурной формулы (наименьшее значение).

Лабораторная работа №5 Приближенное решение задачи Коши методом Рунге-Кутта

Пусть требуется найти решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию.

Численное решение задачи состоит в построении таблицы приближенных значений решения уравнения в точках. Точки– узлы сетки. Используем систему равноотстоящих узлов. Величина– шаг сетки. Методом Рунге- Кутта в литературе обычно называют одношаговый метод четвертого порядка, относящийся к широкому классу методов типа Рунге-Кутта. В этом методе величинывычисляют по следующим формулам:

(1)

Погрешность метода на одном шаге сетки равна , но на практике оценить величинуобычно трудно. При оценке погрешности используют правило Рунге. Для этого проводят вычисления сначала с шагом, а затем – с шагом. Если– приближение, вычисленное с шагом, а– с шагом, то справедлива оценка

.

За оценку погрешности вычислений с шагом можно принять величину

.

Метод Рунге-Кутта легко переносится на нормальные системы дифференциальных уравнений вида

, ,

которые для краткости удобно записывать в векторной форме:

Для получения расчетных формул методом Рунге-Кутта достаточно в формулах (1) заменить исоответственно наи, а коэффициенты– на.

Лабораторная работа №6