4. Графический метод решения злп. Основные свойства злп.

Графический метод решения ЗЛП используется, если число неизвестных задачи не больше 2 или если разность между числом неизвестных и ограничений задачи, записанных в виде уравнений не более двух.

Схема решения.

1. Строим область допустимых решений.

2. Строим линию уровня.

3. Определяем направление градиента.

4. Определяем точку максимума (минимума):

Точка максимума – точка допустимой области, наиболее удаленная от линии уровня в направлении градиента, точка минимума - точка допустимой области, наиболее удаленная от линии уровня в направлении антиградиента.

При решении ЗЛП возможны следующие случаи:

Основные свойства ЗЛП (см. рис.).

1. ЗЛП является выпуклой задачей, поэтому решение всегда единственно.

2. Оптимальное решение достигается по крайней мере в одной из вершин допустимой области: а) только в одной вершине; б) в двух вершинах и имеет бесконечное множество планов.

3. Если допустимая область не ограничена, то ЗЛП может быть разрешима или не разрешима, что зависит от целевой функции: в) задача на maxне разрешима, а наmin– разрешима; г) ЗЛП не разрешима.

4. Если допустимая область состоит из единственной точки, то в ней достигается и максимум и минимум – д).

5. Если допустимая область пуста, то ЗЛП не разрешима – е).

6. Если допустимая область ограничена и не пуста, то ЗЛП всегда имеет решение.

5. Стандартная форма злп, правила построения.

Графический метод решения ЗЛП можно использовать, если число неизвестных равно 2 или разность между числом неизвестных и числом ограничений, записанных в виде уравнений, равна 2. В общем случае эти требования не всегда выполняются. Чтобы использовать для решения некий универсальный метод решения, ЗЛП необходимо записать в определенной, стандартной форме.

Стандартная форма ЗЛП представляет собой такой вид задачи, в котором:

1) Все переменные неотрицательны;

2) Все ограничения заданы в виде уравнений;

3) Целевая функция сформулирована на минимум.

Требования эти оправданы. Во-первых, поиск максимума линейной функции сводится к поиску минимума функции с противоположными по знаку коэффициентами: оптимальные точки совпадают, а значения целевых функций равны по абсолютному значению. Во-вторых, линейная функция не имеет экстремумов и достигает своего наибольшего или наименьшего значения на границе допустимой области, поэтому и решать необходимо не неравенства, а уравнения. Запишем правила приведения любой ЗЛП к стандартному виду.

Правила построения стандартной формы ЗЛП:

1) Если F(x) =C₁x₁+C₂x₂+ … +C_nx_n max, то можно искать

F(x) = -C₁x₁–C₂x₂- … -C_nx_n min.

2) Ограничения в виде неравенств () могут быть сведены к уравнениям введением дополнительных, уравновешивающих неотрицательных уравнений.

Например: 2х₁+ 3х₂42х₁+ 3х₂+ х₃= 4, х₃- уравновешивающая переменная.

4x₁+ 2x₂ 54x₁+ 2x₂–x₄= 5,x₄- уравновешивающая переменная.

3) Если некоторая переменная х может быть не ограничена знаком, то в стандартном виде такую переменную можно представить в виде разности двух неотрицательных переменных: x = x' – x'', x' , x''.

При этом дополнительные переменные не входят в целевую функцию. Стандартная форма ЗЛП в матричном виде выглядит так: Ax=b,x, F(x) =C^Tx min.