Лекция 3 Транспортная задача.

Вопросы:

1. Постановка транспортной задачи. Закрытая модель. Теорема о существовании решения.

2. Метод потенциалов: а) построение опорного плана; б) схема решения.

3. Метод дифференциальных рент.

4. Дополнительные ограничения транспортной задачи.

1. Постановка транспортной задачи. Закрытая модель. Теорема о существовании решения.

Транспортная задача является одним из наиболее важных частных случаев общей задачи линейного программирования, в силу специфики ее построения и области применения. Транспортная модель изначально предназначена для выбора наиболее экономного планирования грузопотоков и работы различных видов транспорта. Однако сфера применения транспортной модели этим не ограничивается. Примерами использования транспортной модели могут служить задачи календарного планирования производства, рационального использования природных и людских ресурсов и др.

Пусть в пунктах А₁,А₂,...,А_m производится некоторый продукт, причем объем производства в п. А_i составляет a_i единиц, . Произведенный продукт должен быть доставлен в пункты потребления В₁,В₂,...,В_n, причем объем потребления в п. В_j составляет b_j единиц, . Предполагается, что транспортировка готовой продукции возможна из любого пункта производства в любой пункт потребления, транспортные издержки на перевозку единицы продукции из п. А_i в п. В_j составляют C_ij денежных единиц. Задача состоит в организации такого плана перевозок, при котором суммарные транспортные издержки были бы минимальными.

Математически транспортная задача может быть записана следующим образом. Пусть x_ij - количество продукта, перевозимого из п. А_i в п. В_j . Требуется определить совокупность (mn)величин x_ij , удовлетворяющих условиям:

(1)

и обращающих в минимум линейную форму

(2)

Специфическими для транспортной задачи являются следующие два обстоятельства: а) каждое из переменных x_ij входит в два уравнения системы (1); б) все коэффициенты при переменных x_ij принимают лишь два значения 0 или 1.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Если общая потребность в продукте в пунктах потребления равна общему запасу продукта в пунктах производства, т.е.

, (3)

то модель транспортной задачи называется закрытой. Если это условие не выполняется, то модель называется открытой.

ТЕОРЕМА: Для разрешимости транспортной задачи необходимо и достаточно, чтобы запасы продукта в пунктах производства были равны потребностям в пунктах потребления, т.е. чтобы выполнялось равенство (3).

ЗАМЕЧАНИЯ:

1. Если запас превышает потребность, т.е. , вводится фиктивный (n+1)-й

пункт потребления с потребностью , а соответствующие

транспортные издержки равны нулю, C_i(n+1) = 0, i = .

2. Если потребности превышают запасы, т.е. , вводится фиктивный (m+1)-

й пункт производства с запасом , а соответствующие тарифы

равны нулю, C_(m+1)j = 0, j = .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Всякое неотрицательное решение системы линейных уравнений (1) называется планом транспортной задачи.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. План X^* = ,;, при котором функция (2) принимает минимальное значение, называется оптимальным планом транспортной задачи.

Часто план транспортной задачи, с которого начинают решение, называют опорным.

Число переменных x_ij в транспортной задаче с m пунктами производства и n пунктами потребления равно mn, а число уравнений в системе (1) равно m+n. Т.к. предполагается, что выполняется условие (3), то число линейно независимых уравнений равно n+m-1. Следовательно, опорный план может иметь не более n+m-1 отличных от нуля неизвестных.

Если в опорном плане число отличных от нуля компонент равно в точности n+m-1 , то план является невырожденным, а если - меньше - то вырожденным.

Для определения оптимального плана транспортной задачи разработаны алгоритмы, существенно более простые, чем симплекс-метод, который является одним из основных методов решения задач линейного программирования. Наиболее известными из этих алгоритмов являются метод потенциалов и метод дифференциальных рент (или венгерский).