Литература / Конспект лекций по МО ЦОС (факультет ВМиК МГУ) / LSSDIG21 / LSSDIG21
.RTF
Лекция 21. Преобразования Адамара и Хаара
Подсчет числа перемен знаков в матрице Адамара
Аналогом частоты в базисе Фурье для матриц Адамара является число перемен знаков в строке.
Предложение. Для того, чтобы найти число перемен знаков в строке с номером в матрице Адамара, нужно сделать следующие операции:
Представить в двоичной форме
Подсчитать , где - матрица перехода от двоичного кода к коду Грея
Число перемен знаков в двоичной форме имеет вид .
Доказательство. Для утверждение проверяется непосредственно. Предположим, что оно справедливо для . Рассмотрим матрицу и ее строку с номером . Элементы этой строки подсчитываются по формуле , где .
По определению, =
При вычислении преобразования Адамара номер коэффициента можно ассоциировать с частотой, однако, не следует думать, что это действительно частота. Для этого достаточно подсчитать преобразование Адамара от .
Быстрое преобразование Адамара.
Пусть имеется вектора . Его преобразование Адамара есть вектор . Вектор называется спектром Адамара исходного вектора. Обратное преобразование можно рассматривать как разложение вектора по столбцам , при этом число перемен знаков в соответствующем столбце рассматривается как аналог частоты. Разобьем вектор , представив его в виде блоков длины . Имеем . Для вычисления блоков можем применить аналогичную формулу. Таким образом реализуется быстрое преобразование Адамара
Преобразование Хаара.
Это преобразование строится на основе матрицы Хаара порядка . . Введем обозначение . Здесь первая строка состоит из 1, а - матрица размера . Теперь
Здесь 1 и -1 обозначают строки длины . Очевидна ортогональность строк этой матрицы. Множитель вводят для того, чтобы выровнять длину строк. Особенность матрицы Хаара заключается в том, что в каждой из строк имеется только один переход от 1 к -1. Фактически, преобразование Хаара есть реализация частного случая Wavelet преобразования.
Сжатие сигнала с помощью ортогонального преобразования.
Все рассмотренные выше преобразования могут использоваться для сжатия сигнала. Пусть сигнал представлен вектором . Подсчитываем , используя одно из ортогональных преобразований. В векторе оставляем лишь часть координат, заменяя остальные нулями. Получаем вектор и находим . Преимущество ортогонально преобразования заключается в том, что при этом можно оценить погрешность , совпадающую с . Процедура сжатия заключается в сохранении лишь ненулевых коэффициентов вектора . Имея несколько ортогональных преобразований, можем подобрать наиболее подходящее для сжатия данного вектора.