ДЗ / ДЗ 2

Домашнее задание 2.

1. Доказать, что множество положительных чисел образует линейное пространство с операцией «сложение» –обычное умножение, операцией «умножение на число»-возведение в степень этого числа.

2. Докажите, что в линейном нормированном пространстве всякая сходящаяся последовательность фундаментальна.

3. Докажите, что в линейном нормированном пространстве всякая последовательность имеет не более одного предела.

4. Докажите, что всякая сходящаяся последовательность ограничена. [Ограниченным называется множество, содержащееся в шаре некоторого конечного радиуса.]

5. Докажите, что шар единичного радиуса в l₂ содержит бесконечно много попарно непересекающихся открытых шаров радиуса .

6. В линейном пространстве вещественных непрерывно дифференцируемых на функций положим

а) Проверить аксиомы нормы.

б) Будет ли получившееся нормированное пространство банаховым?

7. Привести пример монотонной функции имеющей разрывы в рациональных точках, и непрерывной в иррациональных.

8. При каком значении показателя функция принадлежит пространству ?

9. Пусть . Привести пример функции, которая принадлежит пространству , но не принадлежит пространствам .

10. Привести пример функции , такой что , привести пример функции , такой что ,.