4.3. Гидростатика

Для покоящейся жидкости, находящейся в однородном поле тяжести, уравнение Эйлера принимает вид

.

Это уравнение описывает механическое равновесие жидкости.

Если внешние силы вообще отсутствуют, то уравнения равновесия

дают

,

т.е. p=const - давление одинаково во всех точках жидкости.

Рис. 12

Притом плотность жидкости постоянна во всём объёме. Направим ось z вертикально вверх, имеем . Откуда . Если покоящаяся жидкость имеет свободную поверхность (на высоте h), к которой приложено одинаковое во всех точках внешнее давление p0, то эта поверхность должна быть горизонтальной плоскостью .

Из условия p=p_o при z=h имеем

,

так что

.

4.4. Уравнение Бернулли

Уравнения гидродинамики заметно упрощаются в случае стационарного течения жидкости. Под стационарным (или установившимся) подразумевают такое течение, при котором в каждой точке пространства, занятого жидкостью, скорость течения остаётся постоянной во времени. Скорость остаётся функцией только координат

,

.

Рассмотрим некоторые сведения о линиях тока. Линии тока это линии, касательные к которым указывают направление вектора скорости в точке касания в данный момент времени. Уравнения линий тока определяются системой дифференциальных уравнений

.

При стационарном движении жидкости линии тока остаются неизменными во времени и совпадают с траекториями частиц жидкости.

При нестационарном течении такое совпадение не имеет места:

- касательные к линии тока дают направление скорости различных частиц жидкости в последовательных точках пространства в определённый момент времени

- касательные к траектории дают направление скорости определённых частиц в последовательные моменты времени.

Умножим уравнение Эйлера для стационарного потока жидкости на единичный вектор касательной к линии тока в каждой её точке .

Проекция градиента на некоторое направление равна производной, взятой по этому направлению. Поэтому

.

Вектор перпендикулярен вектору скорости, и поэтому его проекция на направление равна нулю

.

Таким образом, получаем

.

Откуда следует, что величина постоянна вдоль линии тока

.

Значение const, вообще говоря, различно для разных линий тока. Это уравнение называют уравнением Бернулли.

Если течение жидкости происходит в поле сил тяжести, то в правой части уравнений Эйлера есть ускорение силы тяжести .

Выберем направление силы тяжести в качестве направления оси z, причём положительные значения z отсчитываются вверх. Тогда проекция на есть

.

Соответственно этому будем иметь

.

Таким образом, уравнение Бернулли гласит, что вдоль линий тока остаётся постоянной длина

.