Линейные операторы

Линейным оператором, действующим из линейного пространства H в линейное пространство H₁ , называется отображение, удовлетворяющее условиям:

Примеры линейных операторов

1. Определим , : , его линейность очевидна, оператор называется единичным.

2. В гильбертовом пространстве L₂([a,b]) определим оператор, сопоставляющий функции , новую функцию

Множество линейных операторов действующее из в образуют линейное пространство.

Определение. Оператор непрерывен в точке x₀, если из следует .

Оператор называется непрерывным, если он непрерывен в каждой точке.

Множество называется ограниченным, если оно содержится в шаре некоторого радиуса.

Оператор называется ограниченным, если всякое ограниченное в множество он переводит в ограниченное в

Теорема Если оператор линеен, то следующие утверждения эквивалентны.

1. Существует точка , в которой оператор непрерывен.

2. Оператор непрерывен.

3. Оператор ограничен.

4. Величина конечна

Доказательство. 1: Допустим непрерывен в докажем, что непрерывен в любой другой точке . , тогда для , что доказывает непрерывность оператора .

. Поскольку непрерывен, то он непрерывен и в нуле. Следовательно, , что для , справедливо . Пусть теперь X -- ограниченное множество в H, т. е. такое множество, что существует положительное число , . Пусть , .

Поскольку ограничен, то , откуда существование очевидна.

Пусть , тогда положим , , т.е непрерывен в нуле.

Норма оператора

Лемма. Для любого линейного оператора A справедливы равенства

• эта величина называется нормой оператора.

Теорема. Если и линейные операторы, то

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

Доказательство.

1. То, что - очевидно, докажем , если , то и , следовательно, и . Если , то , значит для , т.е. .

2. Поскольку для любого вектора Ax имеет место равенство , , а значит . Аналогично,

3. используя неравенство треугольника , значит

4. Очевидно.

5. Дважды применяем свойство 4) и определение нормы оператора.

6. Раскрывая модуль . Левое неравенство может быть записано так , но оно немедленно следует из неравенства треугольника

Сходимость операторов

Говорят, что последовательность линейных операторов сходится к , если числовая последовательность .

Простейшие свойства.

1. Пусть , тогда

2. Пусть и все ограничены то тоже ограничен и .

Доказательство. 1)

2) Выберем , так чтобы тогда , т.е. ограничен. Кроме того, .

Теорема. Всякая фундаментальная последовательность линейных операторов действующих из одного гильбертова пространства , в другое сходится.

Схема доказательства. Если фудаментальна, то также фундаментальна (почему?), а так как она в полном пространстве то существует . Обозначим , осталось показать, что линейный оператор и .