Лекции / Лекция 12

Лекция 12. Обобщённые функции.

В основе теории лежит пространство . Каждая функция обладает следующими свойствами.

1. непрерывная на оси бесконечно дифференцируемая функция.

2. Для любого неотрицательного целого числа и любого многочлена произвольной степени : .

Из этих свойств вытекает, что для каждой функции существует конечный несобственный интеграл.

Тем самым, каждая вместе со своими производными принадлежит .

Примером функции является . По индукции нетрудно показать, что . Очевидно свойства 1)-2) выполняются.

Вторым примером функции является так называемая финитная функция. Это бесконечно дифференцируемая, равная нулю вне некоторого отрезка функция. Любая её производная тоже равна нулю вне некоторого отрезка. Поэтому свойства 1)-2) очевидно выполнены.

На множестве вводится понятие предельного перехода. Последовательность называется сходящейся к функции , если для любого неотрицательного целого числа и любого многочлена имеет место равенство.

Равномерно относительно всех .

является линейным пространством.

Напомним, что на задан функционал, если для каждой задано число : . Функционал называется линейным, если , непрерывным, если

Линейный непрерывный функционал, определённый на называется обобщённой функцией. Совокупность всех обобщённых функций над обозначается через . Приведём примеры.

Пусть кусочно-непрерывная функция, удовлетворяющая неравенству

.

Линейность и непрерывность очевидна.

Теорема. Для того чтобы две кусочно-непрерывные функции, предстовляли равные обобщённые функции, необходимо и достаточно чтобы они были равны в точках непрерывености.

Поэтому обобщённую функцию, представимую через интеграл от кусочно-непрерывную функцию отождествляют с этой функцией.

Замечание. Существуют функции, например , для которых интеграл не является обобщённой функцией. Обобщённые функции, порождённые обычными функциями называются регулярными, однако есть и нерегулярные, например : .

Формулы Сохоцкого.

Введём линейный функционал.

Справедливы формулы Сохоцкого.

Здесь

Операции над обобщёнными функциями.

Пусть - обычная функция

Это определение мы и примем за определение производной обобщённой функции., т.е .

Очевидно любая обобщённая функция имеет производную какого угодно порядка.

Например,

, где -функция Хевисайда.

По определению последовательность обобщённых функций сходится к , если .

А это означает, что можно рассматривать ряды состоящие из обобщённых функций. Для обобщённых функций вводится операция умножения на бесконечно дифференцируемую функцию. С помощью равенства.

.

Однако Шварцем показано, что произведение двух обобщённых функций, которое было бы ассоциативно и коммутативно определить нельзя. Действительно тогда бы мы имели противоречивую цепочку равенств.

Отметим, что если , действительное число, то обобщённые функции определяются при помощи равенств.

Эти определения естественны так как они автоматически выполнены для регулярных обобщённых функций.

Преобразование Фурье обобщённых функций.

Отметим, что если функция , то её преобразование Фурье

также принадлежит .

При этом это преобразование отображает на линейно и непрерывно.

Непрерывность заключается в том, что если какая-либо последовательность функций сходится в смысле к функции , то и сходится к в смысле сходимости в . То же самое справедливо и для обратного преобразования Фурье

.

После сделанных замечаний естественно определить преобразование Фурье для обобщённых функций

. Откуда сразу немедленно следует .

Отметим также,

Для обобщённых функций имеет место тот же факт

По индукции легко выводим

Пример. Найти преобразование Фурье для обобщённой функции.

Т.е.

Преобразование Фурье обобщённых функций обладает свойствами преобразований Фурье обычных функций. .

.